北海道大学 2001年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

平面上の4点 $O (0, 0)$ ， $A (0, 3)$ ， $B (1, 0)$ ， $C (3, 0)$ についてつぎの問いに答えよ．

(1) $sin ∠ B A C$ を求めよ．

(2) 点 $P$ が線分 $O A$ 上を動くとき， $sin ∠ B P C$ の最大値とそれを与える点 $P$ の座標を求めよ．

出典：北海道大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1)は2つのベクトル $A B, A C$ の作る平行四辺形の面積を使って正弦を求める。(2)は $P = (0, t)$ 、 $0 ≦ t ≦ 3$ と置き、 $P B, P C$ の外積の大きさと長さから $sin ∠ B P C$ を式にする。正弦は非負なので2乗を最大化し、 $u = t^{2}$ の1変数関数として調べる。

解答

(1)

$A B = (1, - 3), A C = (3, - 3)$ である。2つのベクトルの作る平行四辺形の面積は $∣1 \cdot (- 3) - (- 3) \cdot 3∣ = 6$ である。また

∣ A B ∣ = 10, ∣ A C ∣ = 18 = 32

である。したがって $sin ∠ B A C = \frac{6}{10 18} = \frac{1}{5}$ である。よって $sin ∠ B A C = \frac{1}{5}$ である。

(2)

点 $P$ は線分 $O A$ 上を動くので $P = (0, t) (0 ≦ t ≦ 3)$ とおける。このとき $P B = (1, - t), P C = (3, - t)$ である。したがって

∣ P B ∣∣ P C ∣ sin ∠ B P C = ∣1 \cdot (- t) - (- t) \cdot 3∣ = 2 t

である。 $t ≧ 0$ だから $sin ∠ B P C = \frac{2 t}{( t ^{2} + 1 ) ( t ^{2} + 9 )}$ となる。

正弦は非負なので、これの2乗を最大にすればよい。 $u = t^{2}$ とおくと $0 ≦ u ≦ 9$ であり ${sin ∠ B P C}^{2} = \frac{4 u}{( u + 1 ) ( u + 9 )}$ である。これを $F (u)$ とおくと

F^{'} (u) = \frac{4 {( u + 1 ) ( u + 9 ) - u ( 2 u + 10 )}}{( u + 1 ) ^{2} ( u + 9 ) ^{2}} = \frac{4 ( 9 - u ^{2} )}{( u + 1 ) ^{2} ( u + 9 ) ^{2}}

である。

したがって $0 ≦ u ≦ 9$ では、 $u = 3$ まで増加し、その後減少する。よって最大は $u = 3$ 、すなわち $t = 3$ のときである。このとき $sin ∠ B P C = \frac{2 3}{( 4 ) ( 12 )} = \frac{1}{2}$ である。

よって最大値とそのときの点は $\frac{1}{2}, P = (0, 3)$ である。

北海道大学 2001年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2001年度
後期・理系数学後期第1問