問題
，，の3人がつぎのように勝負をくり返す．1回目にはとの間で硬貨投げにより勝敗を決める．2回目以降には，直前の回の勝者と参加しなかった残りの1人との間で，やはり硬貨投げにより勝敗を決める．この勝負をくり返し，誰かが2連勝するか，または，4回目の勝負を終えたとき，終了する．ただし，硬貨投げで勝つ確率は各々である．
(1) ，，のうちの誰かが2連勝して終了する確率を求めよ．
(2) が2連勝して終了する確率を求めよ．
出典：北海道大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
勝者の列に注目する。誰も2連勝しないためには、2回目以降は直前の勝者が必ず負け、直前に参加していなかった人が勝ち続ける必要がある。(1)はこの余事象を使う。(2)は が2連勝する勝者列を、終了前に2連勝が起きない条件込みで列挙する。
解答
(1)
2連勝が起こらない場合を考える。1回目の勝者は誰でもよいが、2回目以降は、直前の勝者が勝つとその時点で2連勝になる。したがって、2連勝しないためには、2回目、3回目、4回目の各回で直前の勝者が負けなければならない。
各勝負で直前の勝者が負ける確率は であるから、4回終了まで誰も2連勝しない確率は である。
よって、誰かが2連勝して終了する確率は余事象を用いて である。
(2)
が2連勝して終了する場合を、勝者列で数える。
まず1回目、2回目に続けて が勝つ場合がある。勝者列は であり、その確率は である。
次に、2回目または3回目で別の人が2連勝してはいけないので、1回目に が勝たない場合から が最後に2連勝するには という勝者列しかない。この確率は である。
以上は互いに重ならないので、求める確率は である。