問題
平面上の曲線を考える．ただし，，，は定数でとする．この曲線上の点での接線が軸と交点をもつとき，その交点をとする．
(1) がの1次関数になるための，，に対する必要十分条件を求めよ．
(2) とおくとき，(1)で求めた条件の下で を求めよ．
出典：北海道大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
点 における接線を具体的に書き、 軸との交点の 座標を の式として求める。式には の逆数項が現れるので、これが消える条件を必要十分条件として判定する。条件成立後は という固定点 をもつ1次関数の反復になり、 の等比数列として処理する。
解答
(1)
点 は曲線上にあるので である。また導関数は だから、 における接線の傾きは である。
まず の場合を考える。このとき接線は である。 軸との交点では なので となる。したがって、その交点の 座標は
ここで である。右辺が の1次関数になるためには、逆数項 が消えなければならない。よって必要条件として を得る。
逆に なら となり、これは の1次関数である。したがって求める必要十分条件は である。なお では接線が水平になるが、 のときは上の1次式で自然に値を補って考えればよい。
(2)
(1)の条件 のもとで である。したがって であり、両辺から を引くと となる。
これは等比数列で、初項は である。よって である。したがって で である。
別解。 は、点 と固定点 の中点を取る操作である。したがって1回反復するごとに、 と の距離は半分になる。初めの距離が であるから、符号つきの距離は となり、同じ式を得る。