問題
次の問いに答えよ．
(1) 関数のグラフをかけ．
(2) のとき，の関数の最小値とそれを与えるを求めよ．
出典：北海道大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
(1)は絶対値の符号が変わる で区間を分けて折れ線の式を出す。(2)は からの距離の和であり、中央値 が最小を与えることを、傾きの変化または対称な項の組で説明する。最小値は左右に同じ距離 が並ぶことから求める。
解答
(1)
折れ点は である。各区間で絶対値を外すと は
となる。
したがってグラフは、点 を折れ点にもつ折れ線である。傾きは順に と変化する。
(2)
とおく。 が整数点 を1つ越えるたびに、各項の傾きは から に変わる。したがって全体の傾きは のように変化する。
このため関数は までは減少し、 を過ぎると増加する。よって最小を与える は である。
このとき
したがって最小値は である。
別解。対称な2項を組にすると、 について である。これは2点間の距離より、どの点 を経由しても距離の和は短くならないことを表している。すべての で等号が成り立つには、 が各区間 に入ればよく、その共通部分は である。したがって最小値は同じく である。