問題
複素数平面上の2点
を通る円のうち，中心が実軸上にある円についてつぎの問いに答えよ．
(1) 円の中心と半径を求めよ．
(2) 複素数との偏角をそれぞれ求めよ．
(3) 線分，線分と短い方の円弧で囲まれるおうぎ形の面積を求めよ．
出典：北海道大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
中心が実軸上にあるので中心を実数 と置き、2点 までの距離が等しい条件で を決める。半径が出たら 、 を標準角の複素数として読み、短い弧に対応する中心角を求める。扇形の面積は で計算する。
解答
(1)
中心は実軸上にあるので、実数 を用いて中心を と表す。円が を通るためには、中心から2点までの距離が等しい必要がある。 であるから である。すなわち となる。展開して整理すると であるから である。
半径は である。したがって である。
(2)
中心から見た2点の位置は であるから、偏角は である。
また であるから、偏角は である。
(3)
(2)より、短い方の円弧に対応する中心角は である。半径は だから、求めるおうぎ形の面積は
である。よって である。