問題
次の問いに答えよ．
(1) 正の数，実数，に対して関数は，条件
をみたすとする．このとき，，を求め，，を，，で表せ．
(2) 上の条件(＊)をみたすについて，3つの不等式，，を同時にみたすような，によって定まる点のなす領域を座標平面上に図示し，その面積をを用いて表せ．
(3) がなる範囲を動くとき，の値が最小となるの値との最小値を求めよ．
出典：北海道大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
(1)は 、 からすぐに を決め、残りの2条件 、 を の連立一次方程式として解く。(2)では 、 を 平面の2本の半平面に直し、 と合わせて三角形の領域を得る。2本の直線の交点と 上の切片を使って面積を求める。(3)は を微分して最小化する。
解答
(1)
である。 より である。また なので、 より である。
残りの条件 、 は および である。すなわち を解けばよい。消去すると であり、これを戻すと である。
(2)
であるから、 は すなわち である。また は すなわち である。さらに である。
2本の直線の上下関係が成り立つには でなければならない。 より整理して である。したがって領域は の範囲で、2本の直線 に挟まれた三角形である。
頂点は、 での2点 と、2本の直線の交点 である。 上の縦の長さは であり、横の高さは である。したがって面積は である。
(3)
(2)より である。微分すると である。 となるのは より である。 で、 は で負、 で正となるので、ここで最小となる。
このとき である。したがって である。
別解。(3)は相加平均を使ってもよい。 であり、、 だから である。等号は 、すなわち のときで、このとき である。