北海道大学 2000年度
理系数学 前期 第2問

解答

(1)

正 $4n$ 角形の外角は $\frac{2\pi }{4n}=\frac{\pi }{2n}$ である。したがって、辺 $P_0{P}_1$ の向きから辺 $P_k{P}_{k+1}$ の向きまでは $\frac{k\pi }{2n}$ だけ回転している。

交点 $Q_k$ における角 $\angle P_0{Q}_k{P}_{k+1}$ は、この方向差の補角である。よって $\angle P_0{Q}_k{P}_{k+1}=\pi -\frac{k\pi }{2n}=\frac{(2n-k)\pi }{2n}$ である。

(2)

3本の辺 $P_0{P}_1$、$P_k{P}_{k+1}$、$P_l{P}_{l+1}$ を選ぶ。ただし $k<l$ である。円周上でこれらの辺の間隔を順に見ると $k,l-k,4n-l$ であり、和は $4n$ である。

(1)と同じ考え方により、2本の辺の間隔が $d$ のとき、それらの延長線が作る、正多角形を含む側の角は $\pi -\frac{d\pi }{2n}$ である。この角が鋭角であるためには $\pi -\frac{d\pi }{2n}<\frac{\pi }{2}$ すなわち $d>n$ である。したがって3本の直線でできる三角形が鋭角三角形となる必要十分条件は $k>n,l-k>n,4n-l>n$ である。

そこで $k=n+r,l-k=n+s,4n-l=n+t$ とおく。このとき $r,s,t$ は正の整数で、$r+s+t=n$ を満たす。逆に、この条件を満たす正整数 $r,s,t$ から条件を満たす $k,l$ が一意に定まる。

したがって求める組数は、正の整数3個の和が $n$ となる場合の数である。$n\geqq 3$ では ${}_{n-1}{\mathrm{C}}_2=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ であり、$n=1,2$ でもこの式は0を与える。よって答えは $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ である。

別解。(2)は、3本の辺の法線方向を考えても同じ条件に帰着する。正多角形を含む三角形の各角が鋭角であることは、選んだ辺の方向が互いに半周より十分離れていることを意味し、辺番号の間隔がそれぞれ $n$ を超えるという条件になる。数え上げは結局、余りの $n$ 個を3つの正の部分に分ける問題である。