問題
空間内の4点，，，をとる．
(1) 直線上の点をとってとが垂直であるようにする．の座標を求めよ．としての値を求めよ．ただしとする．
(2) 直線上の点と直線上の点との距離が最小となる，の座標を求めよ．
出典：北海道大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
(1)では直線 上の点を と置き、 と の垂直条件を内積0で表す。角 はベクトル と のなす角として内積から求める。(2)では直線 上の点 と直線 上の点 を媒介変数で置き、最短線分 が両直線の方向ベクトルに垂直になる条件を解く。
解答
(1)
直線 の方向ベクトルは である。直線 上の点 を とおく。 と が垂直である条件は である。ここで だから である。したがって であり、 である。
次に なので
である。よって であり、
である。したがって である。
(2)
直線 上の点を とおく。また直線 の方向ベクトルは であるから、直線 上の点を とおく。
2本のねじれの位置にある直線上の点の距離が最小になるとき、 は両方の直線の方向ベクトルに垂直である。ここで である。したがって および を満たせばよい。
第1式は すなわち である。第2式は すなわち である。これらを解くと である。
よって である。
別解。(2)は距離の2乗を直接最小化してもよい。 を の2変数関数として偏微分に相当する平方完成を行うと、同じ連立一次条件 、 が得られる。