北海道大学 2000年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

方程式 $A{e}^x-x=0$ は、$e^x>0$ より $A=x{e}^{-x}$ と同値である。そこで $h(x)=x{e}^{-x}$ とおく。すると $h^{\prime }(x)=e^{-x}(1-x)$ であるから、$h(x)$ は $0<x<1$ で増加し、$1<x<3$ で減少する。最大値は $h(1)=\frac{1}{e}$ である。また ${\lim }_{x\to 0+}h(x)=0,h(3)=\frac{3}{e^3}$ である。

したがって、$0<x<3$ に異なる2つの解をもつためには、水平線 $y=A$ が増加部分と減少部分の両方で1回ずつ交わる必要がある。$x=3$ は範囲に含まれないので、条件は $\frac{3}{e^3}<A<\frac{1}{e}$ である。

(2)

$\int e^t\cos tdt=\frac{e^t(\sin t+\cos t)}{2}$ である。したがって

$=\frac{e^{\pi /2}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{e^{\pi /2}-1}{2}$ である。

(3)

$I={\int }_0^{\pi /2}f(t)\cos tdt$ とおく。与えられた式は $\log f(x)=x-3+2I$ である。右辺は $x$ に関して $x$ と定数の和なので、ある正の定数 $C$ を用いて $f(x)=C{e}^x$ と書ける。このとき $f(0)=C$ であるから、条件 $f(0)<1$ は $0<C<1$ である。

(2)より $I=C{\int }_0^{\pi /2}{e}^t\cos tdt=C\cdot \frac{e^{\pi /2}-1}{2}$ である。これを $\log f(x)=x-3+2I$ の定数部分に戻すと $\log C=-3+C(e^{\pi /2}-1)$ が必要十分条件である。

ここで $X=C(e^{\pi /2}-1)$ とおくと、$C=X/(e^{\pi /2}-1)$ であり、上式は $\log X-\log (e^{\pi /2}-1)=-3+X$ となる。整理すると $X{e}^{-X}=\frac{e^{\pi /2}-1}{e^3}$ である。

(1)を使うために $A=\frac{e^{\pi /2}-1}{e^3}$ とおく。$\pi /2>3/2$ かつ $e>2.7$ より $e^{\pi /2}>e^{3/2}>4$ であるから $e^{\pi /2}-1>3$ である。また $\pi /2<2$ より $e^{\pi /2}<e^2$ なので $e^{\pi /2}-1<e^2$ である。したがって $\frac{3}{e^3}<\frac{e^{\pi /2}-1}{e^3}<\frac{1}{e}$ である。

よって(1)より、方程式 $X{e}^{-X}=A$ は $0<X<3$ に異なる2つの解をもつ。さらに $e^{\pi /2}-1>3$ なので、各解について $0<C=\frac{X}{e^{\pi /2}-1}<1$ である。したがって条件を満たす関数 $f(x)=C{e}^x$ が2つ存在する。