北海道大学 2000年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

放物線上の点を $P=(t,t^2,0)$ とおく。$a<0$ なので $t^2-a>0$ であり、以下の分母は $0$ にならない。直線 $AP$ 上の点は $(0,a,1)+\lambda (t,t^2-a,-1)$ と表される。これが $xz$ 平面上にあるとき $y=0$ だから $a+\lambda (t^2-a)=0,\lambda =-\frac{a}{t^2-a}$ である。したがって交点 $Q=(X,0,Z)$ は $X=-\frac{at}{t^2-a},Z=1+\frac{a}{t^2-a}=\frac{t^2}{t^2-a}$ である。

この点がある1つの円に含まれると仮定する。$xz$ 平面内の円は、適当な定数 $u,v,w$ を用いて $X^2+Z^2+uX+vZ+w=0$ と書ける。ここへ上の $X,Z$ を代入する。$X$ は $t$ について奇関数、他の項は偶関数であり、$t$ と $-t$ の両方で成り立つ必要があるから、まず $u=0$ でなければならない。

そこで $s=t^2$ とおくと、$X^2=\frac{a^{2}s}{(s-a{)}^2},Z=\frac{s}{s-a}$ である。円の式に代入し、$(s-a{)}^2$ を掛けると $a^{2}s+s^2+vs(s-a)+w(s-a{)}^2=0$ が無限に多くの $s\geqq 0$ で成り立つ。したがって恒等式として係数がすべて $0$ でなければならない。

係数を比較すると $1+v+w=0,$ $a^2-av-2aw=0,$ $a^{2}w=0$ である。$a<0$ より $a\ne 0$ だから $w=0$ であり、さらに $v=-1$ となる。これを中央の式に代入して $a^2+a=0$ を得る。$a<0$ より $a=-1$ である。

実際に $a=-1$ のときは $X=\frac{t}{t^2+1},Z=\frac{t^2}{t^2+1}$ であり、

となる。これは $X^2+{\left(Z-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ という円である。よって求める値は $a=-1$ である。

別解。交点表示から $1-Z=-\frac{a}{t^2-a},X=t(1-Z)$ である。また $Z=t^2/(t^2-a)$ から $t^2=aZ/(Z-1)$ と書ける。これを $X^2=t^2(1-Z{)}^2$ に代入すると $X^2=-aZ(1-Z)$ すなわち $X^2-a{Z}^2+aZ=0$ を得る。この2次曲線が円になるには $X^2$ と $Z^2$ の係数が等しくなければならないので $-a=1$、したがって $a=-1$ である。上の本解の係数比較は、この判定を円の一般形から正当化したものである。