北海道大学 2000年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

三角形 $OPQ$ は $x\geqq 0$、$y\geqq 0$、$x+y\leqq a$ で表され、線分 $PQ$ は $x+y=a$ である。円の中心 $A(1,1)$ からこの直線までの距離は $\frac{|1+1-a|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|2-a|}{\sqrt{2}}$ である。線分 $PQ$ が円周と交わるためには、この距離が半径 $1$ 以下であればよい。実際、円は $0\leqq x\leqq 2$、$0\leqq y\leqq 2$ にあり、交点が存在すれば第1象限上で線分 $PQ$ 上に乗る。したがって $\frac{|2-a|}{\sqrt{2}}\leqq 1$ より $2-\sqrt{2}\leqq a\leqq 2+\sqrt{2}$ である。

(2)

直線 $x+y=a$ は円を2点、または接する1点で切る。$R$ ともう一方の交点を $S$ とする。三角形は直線 $x+y=a$ の原点側であり、$a=2-\sqrt{2}$ では接点だけ、$a=2+\sqrt{2}$ では円全体を含むので、共通部分は弦 $RS$ と円周で囲まれる原点側の弓形である。 $\angle OAR=\theta$ であるから、$AO$ を基準に左右対称な2本の半径 $AR,AS$ のなす中心角は $2\theta$ である。半径は $1$ なので、扇形 $ARS$ の面積は $\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot 2\theta =\theta$ である。また、二等辺三角形 $ARS$ の面積は $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin 2\theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$ である。したがって求める面積は $\theta -\frac{1}{2}\sin 2\theta$ である。端の場合 $\theta =0,\pi$ でも、それぞれ面積 $0$、$\pi$ となり同じ式で成り立つ。

(3)

交点は直線 $x+y=a$ 上にあるので、$x+y-2=a-2$ である。中心 $A$ から直線に下ろした垂線の足は $M\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$ であり、$AM$ の長さは $|a-2|/\sqrt{2}$ である。弦の半長は

である。弦の方向は $(1,-1)$ 方向だから、$P(a,0)$ に近い方の交点 $R$ は $x$ 座標が大きい方である。よって

である。

次に、$AR$ は半径なので長さ $1$、$AO=(-1,-1)$ の長さは $\sqrt{2}$ である。また $R=(x_R,y_R)$ とすると、$x_R+y_R=a$ より

である。したがって

である。

別解。座標軸を $u=(x+y-2)/\sqrt{2}$、$v=(x-y)/\sqrt{2}$ と回転させると、円は $u^2+v^2=1$、直線 $PQ$ は $u=(a-2)/\sqrt{2}$ になる。したがって弦の端では $v=\pm \sqrt{1-\frac{(a-2{)}^2}{2}}$ であり、元の座標に戻すと上で得た $R$ の座標になる。また $u$ 軸上で $AO$ 方向は $u<0$ だから、半径 $AR$ とのなす角の余弦はその $u$ 成分の符号を反映して $(2-a)/\sqrt{2}$ となる。この座標変換で見ると、面積も単位円の中心角 $2\theta$ の弓形としてすぐに読める。