北海道大学 2000年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

被積分関数は $x$ を $-x$ に替えると2つの因子が入れ替わるだけなので偶関数である。したがって

である。$0\leqq x\leqq a/2$ では

であり、$a/2\leqq x\leqq a$ では $\left|x-\frac{a}{2}\right|=x-\frac{a}{2}$ である。

よって積和公式を用いると

である。

ここから最大・最小を求める。微分すると $F^{\prime }(a)=\cos a-\cos 2a$ であり、$F^{\prime }(a)=0$ は $\cos a=\cos 2a$ すなわち $2{\cos }^{2}a-\cos a-1=0$ と同値である。したがって $\cos a=1\text{または}\cos a=-\frac{1}{2}$ である。 $F(a)=\sin a(1-\cos a)$ は周期 $2\pi$ の連続関数である。$1-\cos a\geqq 0$ なので、正の最大値は $\sin a>0$ かつ $\cos a=-1/2$ のとき、負の最小値は $\sin a<0$ かつ $\cos a=-1/2$ のときに生じる。よって最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ で、これを与える $a$ は $a=\frac{2\pi }{3}+2k\pi (k=0,1,2,\dots )$ である。最小値は $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ で、これを与える $a$ は $a=\frac{4\pi }{3}+2k\pi (k=0,1,2,\dots )$ である。

別解。$F(a)=\sin a(1-\cos a)$ まで得た後、$c=\cos a$ とおくと $F(a{)}^2=(1-c^2)(1-c{)}^2=(1-c{)}^3(1+c)$ である。さらに $u=1-c$ とおけば $0\leqq u\leqq 2$ で $F(a{)}^2=u^3(2-u)$ となる。$u^3(2-u)$ の最大は $u=3/2$、すなわち $c=-1/2$ のときで、値は $27/16$ である。したがって $|F(a)|=3\sqrt{3}/4$ となり、$\sin a$ の符号から上と同じ最大値・最小値および $a$ が得られる。