北海道大学 2000年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする．

f_{n} (x) = x^{2} - 2 (n + \frac{1}{n}) x + n^{2} - 1 + e^{- x}

に対して，次の問いに答えよ．

(1) $n + \frac{1}{n} - 2 ≦ x ≦ n + \frac{1}{n}$ の範囲において， $f_{n} (x) = 0$ の解がただ1つ存在することを示せ．

(2) $x ≧ n + \frac{1}{n}$ の範囲において， $f_{n} (x) = 0$ の解がただ1つ存在することを示せ．

(3) $a_{n}$ を(1)の解， $b_{n}$ を(2)の解とする．さらに，2次方程式

x^{2} - 2 (n + \frac{1}{n}) x + n^{2} - 1 = 0

の2つの解を $p_{n}$ ， $q_{n}$ $(p_{n} ≦ q_{n})$ とするとき

n \to \infty lim (a_{n} - p_{n}) = 0, n \to \infty lim (b_{n} - q_{n}) = 0

を示せ．

(4) 極限 $n \to \infty lim (b_{n} - a_{n})$ を求めよ．

出典：北海道大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

指数項を含む方程式を直接解こうとせず、まず2次部分 $h_{n} (x)$ と指数項 $e^{- x}$ に分ける。 $m = n + 1/ n$ とおけば、2次部分の軸は $x = m$ であり、指定区間の符号確認と微分による単調性・凸性で解の存在と一意性を示せる。後半は $h_{n} (x) = (x - p_{n}) (x - q_{n})$ と因数分解し、 $f_{n} (a_{n}) = 0$ 、 $f_{n} (b_{n}) = 0$ から2次方程式の根との差を指数項で挟むのが核心である。

解答

(1)

$m = n + \frac{1}{n}$ とおき、2次部分を $h_{n} (x) = x^{2} - 2 m x + n^{2} - 1$ とする。すると $f_{n} (x) = h_{n} (x) + e^{- x}$ である。区間 $m - 2 ≦ x ≦ m$ では $f_{n}^{'} (x) = 2 (x - m) - e^{- x} < 0$ であるから、 $f_{n} (x)$ はこの区間で狭義単調減少である。

端点での値を調べる。まず $h_{n} (m) = m^{2} - 2 m^{2} + n^{2} - 1 = - m^{2} + n^{2} - 1 = - 3 - \frac{1}{n ^{2}}$ である。また $h_{n} (x) = (x - m)^{2} + h_{n} (m)$ より $h_{n} (m - 2) = 4 - 3 - \frac{1}{n ^{2}} = 1 - \frac{1}{n ^{2}}$ である。したがって $f_{n} (m - 2) = 1 - \frac{1}{n ^{2}} + e^{- (m - 2)} > 0$ であり、さらに $f_{n} (m) = - 3 - \frac{1}{n ^{2}} + e^{- m} < 0$ である。連続性から少なくとも1つの解があり、狭義単調減少性から解はただ1つである。

(2)

$x ≧ m$ で $f_{n}^{''} (x) = 2 + e^{- x} > 0$ だから、 $f_{n}^{'} (x)$ は狭義単調増加である。また $f_{n}^{'} (m) = - e^{- m} < 0, f_{n}^{'} (m + 1) = 2 - e^{- (m + 1)} > 0$ なので、 $x ≧ m$ に $f_{n}^{'} (x) = 0$ を満たす点がただ1つある。したがって $f_{n}$ ははじめ減少し、その後増加する。

一方で $f_{n} (m) < 0$ であり、 $x \to \infty$ のとき2次項が支配して $f_{n} (x) \to \infty$ となる。最小値を取るまでは負のままで、その後ただ1回だけ $0$ を越えるから、 $x ≧ m$ において $f_{n} (x) = 0$ の解はただ1つ存在する。

(3)

2次方程式 $h_{n} (x) = 0$ の解は $p_{n} = m - 3 + \frac{1}{n ^{2}}, q_{n} = m + 3 + \frac{1}{n ^{2}}$ である。したがって $h_{n} (x) = (x - p_{n}) (x - q_{n})$ と書ける。

まず $f_{n} (p_{n}) = e^{- p_{n}} > 0$ 、 $f_{n} (m) < 0$ であり、(1)の解は一意であるから $p_{n} < a_{n} < m$ である。 $f_{n} (a_{n}) = 0$ より $(a_{n} - p_{n}) (a_{n} - q_{n}) + e^{- a_{n}} = 0$ であるから $(a_{n} - p_{n}) (q_{n} - a_{n}) = e^{- a_{n}}$ を得る。ここで $q_{n} - a_{n} > q_{n} - m = 3 + 1/ n^{2} ≧ 3$ であり、また $a_{n} > p_{n} \to \infty$ である。よって $0 < a_{n} - p_{n} = \frac{e ^{- a_{n}}}{q _{n} - a _{n}} ≦ \frac{e ^{- a_{n}}}{3} \to 0$ となり、 $lim_{n \to \infty} (a_{n} - p_{n}) = 0$ である。

次に $f_{n} (m) < 0$ 、 $f_{n} (q_{n}) = e^{- q_{n}} > 0$ であり、(2)の解は一意であるから $m < b_{n} < q_{n}$ である。同様に $f_{n} (b_{n}) = 0$ から $(b_{n} - p_{n}) (q_{n} - b_{n}) = e^{- b_{n}}$ である。ここで $b_{n} - p_{n} > m - p_{n} = 3 + 1/ n^{2} ≧ 3$ かつ $b_{n} > m \to \infty$ なので $0 < q_{n} - b_{n} = \frac{e ^{- b_{n}}}{b _{n} - p _{n}} ≦ \frac{e ^{- b_{n}}}{3} \to 0$ である。したがって $b_{n} - q_{n} = - (q_{n} - b_{n})$ より $lim_{n \to \infty} (b_{n} - q_{n}) = 0$ も示された。

(4)

(3)より $a_{n} - p_{n} \to 0, b_{n} - q_{n} \to 0$ であるから $b_{n} - a_{n} = (q_{n} - p_{n}) + (b_{n} - q_{n}) - (a_{n} - p_{n})$ の右辺で、後ろ2項は $0$ に近づく。よって

n \to \infty lim (b_{n} - a_{n}) = n \to \infty lim (q_{n} - p_{n}) = n \to \infty lim 2 3 + \frac{1}{n ^{2}} = 23

である。

北海道大学 2000年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

北海道大学 2000年度
後期・理系数学後期第2問