北海道大学 1999年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

関数 $f (x)$ を

f (x) = x sin x - cos x

で定める．また， $n$ を自然数とする．

(1) $2 nπ ≦ x ≦ 2 nπ + \frac{π}{2}$ の範囲において， $f (x) = 0$ となる $x$ がただ1つ存在することを示せ．

(2) (1)での $f (x) = 0$ となる $x$ の値を $a_{n}$ とする $(2 nπ ≦ a_{n} ≦ 2 nπ + \frac{π}{2})$ ．
このとき， $n \to \infty lim (a_{n} - 2 nπ) = 0$ を示せ．

出典：北海道大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

区間を $x = 2 nπ + t$ 、 $0 ≦ t ≦ π /2$ と見てもよいが、一意性は導関数で示すのが最も短い。 $f^{'} (x) = x cos x + 2 sin x$ であり、この区間では非負、実際には正なので $f$ は単調増加する。端の値は $f (2 nπ) = - 1$ 、 $f (2 nπ + π /2) > 0$ であるから解はただ1つ存在する。(2)はその解を $a_{n} = 2 nπ + t_{n}$ と置き、方程式を $tan t_{n} = 1/ (2 nπ + t_{n})$ に直して $0 < t_{n} < 1/ (2 nπ)$ と評価する。

解答

(1)

まず導関数を求める。 $f^{'} (x) = sin x + x cos x + sin x = x cos x + 2 sin x$ である。

区間 $2 nπ ≦ x ≦ 2 nπ + \frac{π}{2}$ では $sin x ≧ 0, cos x ≧ 0, x > 0$ である。したがって $f^{'} (x) = x cos x + 2 sin x ≧ 0$ であり、しかも区間内で常に0になるわけではないので、 $f (x)$ はこの区間で単調増加する。

端の値を調べると $f (2 nπ) = 2 nπ sin 2 nπ - cos 2 nπ = - 1$ であり、

f (2 nπ + \frac{π}{2}) = (2 nπ + \frac{π}{2}) \cdot 1 - 0 = 2 nπ + \frac{π}{2} > 0

である。連続関数 $f (x)$ は端で負から正へ変わり、しかも単調増加であるから、この区間に $f (x) = 0$ となる $x$ がただ1つ存在する。

(2)

(1)の解を $a_{n} = 2 nπ + t_{n}, 0 ≦ t_{n} ≦ \frac{π}{2}$ とおく。端の値は0でないので、実際には $0 < t_{n} < \frac{π}{2}$ である。 $f (a_{n}) = 0$ より $(2 nπ + t_{n}) sin t_{n} - cos t_{n} = 0$ である。 $0 < t_{n} < π /2$ では $cos t_{n} > 0$ なので、両辺を $cos t_{n}$ で割って $(2 nπ + t_{n}) tan t_{n} = 1$ すなわち $tan t_{n} = \frac{1}{2 nπ + t _{n}}$ を得る。 $0 < t_{n} < π /2$ では $t_{n} < tan t_{n}$ であるから $0 < t_{n} < \frac{1}{2 nπ + t _{n}} < \frac{1}{2 nπ}$ である。右端は $n \to \infty$ で0に近づくので、はさみうちにより $t_{n} \to 0$ である。したがって $a_{n} - 2 nπ = t_{n} \to 0$ であり、 $lim_{n \to \infty} (a_{n} - 2 nπ) = 0$ が示された。

北海道大学 1999年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1999年度
後期・理系数学後期第4問