北海道大学 1999年度
後期・理系数学 後期 第2問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 三角関数、図形と方程式
- 解法
- 三角比の利用、面積比、置換
- 難易度
- 5 / 10 計算量 4 / 10 目安 12分
問題
辺ABと辺ACの長さが等しい二等辺三角形ABCを考える．点Pは線分AB上を，点Aから点Bに向かって一定の速さで動くとする．点Qは，点Cを点Pと同じ時刻に出発し，点Pと同じ速さで点Aに向かって線分CA上を動くものとする．また，点Pが点Bに到達するまでの間で点Qに最も接近したときの線分PQの長さが，線分APの長さに等しいものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) ∠BACの大きさを求めよ．
(2) 三角形PAQの面積が三角形ABCの面積の81になるとき，線分PQの長さと線分ABの長さの比を求めよ．
出典：北海道大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
AB=AC=L、AP=CQ=s、∠BAC=θ とおく。同じ速さなので時刻を表す量は s で統一でき、AQ=L−s となる。余弦定理で PQ2 を s の2次式にして、最小となる s と最小距離を求める。条件「最も接近したときの PQ がそのときの AP に等しい」を代入して θ を決め、(2)では面積比から u=s/L の条件を得て PQ/AB を計算する。
解答
(1)
AB=AC=L,∠BAC=θ とおく。また、点 P、Q は同じ速さで動くので、ある時刻に AP=CQ=s とおける。このとき AQ=AC−CQ=L−s である。
三角形 PAQ に余弦定理を用いると
PQ2=s2+(L−s)2−2s(L−s)cosθ=L2−2L(1+cosθ)s+2(1+cosθ)s2.
0<θ<π より 1+cosθ>0 であるから、これは s の2次式として s=2L のとき最小となる。そのとき
PQextmin2=(2L)2+(2L)2−2(2L)(2L)cosθ=2L2(1−cosθ).
条件より、最も接近したときの PQ は、そのときの AP=L/2 に等しい。したがって 2L2(1−cosθ)=(2L)2 である。L>0 より 1−cosθ=21 すなわち cosθ=21 である。よって ∠BAC=60∘ である。
(2)
u=Ls とおく。AP=s、AQ=L−s であり、∠PAQ=∠BAC=60∘ だから
[△ABC][△PAQ]=21L2sin60∘21s(L−s)sin60∘=u(1−u)
である。これが 1/8 に等しいので u(1−u)=81 である。
また、θ=60∘ より
L2PQ2=u2+(1−u)2−2u(1−u)cos60∘=u2+(1−u)2−u(1−u)=1−3u(1−u).
ここに u(1−u)=1/8 を代入すると L2PQ2=1−83=85 である。したがって ABPQ=LPQ=85=410 である。
