問題
3辺の長さがいずれも整数値であるような直角三角形を考える．
% 図は省略
(1) 直角をはさむ2辺の長さのうち，少なくとも一方は偶数であることを証明せよ．
(2) 図のように，斜辺の長さと2番目に長い辺の長さの差が1であるような例を他に3つあげよ．
出典：北海道大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
(1)は整数の偶奇を調べる。平方数を4で割った余りは0または1なので、直角をはさむ2辺がともに奇数だと斜辺の平方が4で割って2余ることになり不可能である。(2)は斜辺と2番目に長い辺の差が1であるピタゴラス数を挙げればよい。具体例を出すだけでもよいが、 型を使うと条件確認が一度で済む。
解答
(1)
直角をはさむ2辺の長さを 、、斜辺の長さを とする。三平方の定理より である。
もし 、 がともに奇数であると仮定する。奇数の平方を4で割った余りは1であるから である。したがって となる。しかし、整数の平方を4で割った余りは0または1であり、2になることはない。これは矛盾である。
よって、直角をはさむ2辺の長さのうち、少なくとも一方は偶数である。
(2)
例として、次の3つを挙げればよい。 実際に確認すると であり、いずれも直角三角形の3辺になっている。また、それぞれ斜辺と2番目に長い辺の差は である。
別解。奇数 に対して を考える。このとき
であるから、直角三角形の3辺になる。また である。 とすれば、上の3例 が得られる。