問題
放物線上の点における法線が放物線と再び交わる点をとする．ただし，とする．
(1) 点の座標を，を用いて表せ．
(2) とするとき，線分と放物線とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3) とするとき，線分と放物線とで囲まれた図形を軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．
出典：北海道大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
(1)は放物線 の接線の傾きが であることから、法線の傾きを として直線の方程式を作り、放物線と再交差させる。(2)は を代入して、直線が放物線の上にある区間で縦に積分する。(3)は のときの直線と放物線の位置を調べ、 軸まわりの回転体を水平断面で考える。 と で断面の形が変わる点を見落とさない。
解答
(1)
放物線 の点 における接線の傾きは である。 なので、法線の傾きは である。したがって法線の方程式は すなわち である。
これと を連立すると である。両辺に を掛けて整理すると となる。この方程式は を解にもつので、因数分解して である。したがって、もう一つの交点の 座標は である。よって である。
(2)
のとき、法線は すなわち である。交点の 座標は(1)より である。この区間では直線が放物線の上にあるから、求める面積は
(3)
のとき、法線は である。交点は である。
回転軸は 軸なので、水平断面で考える。放物線は 、直線は と表される。 では、水平断面の線分は 軸をまたぎ、回転すると半径 の円になる。したがって断面積は である。 では、水平断面は 軸の左側だけにあり、外半径が 、内半径が の円環になる。したがって断面積は である。
よって体積は