北海道大学 1998年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

回転軸に垂直な断面で考える。断面は一辺 $1$ の正方形 $0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq 1$ であり，インクの断面積は常に $1/4$ である。糸はこの断面では線分 $x=a,0\leqq y\leqq 1$ として表される。

容器が傾いたとき，液面を $tx+y=\mu$ と書く。ただし $t=an\theta \geqq 0$ とする。液体部分が座標軸に接する直角三角形になるのは，液面の $x$ 切片と $y$ 切片がともに $1$ 以下のときである。この範囲では面積条件から $\frac{1}{2}\cdot \frac{\mu }{t}\cdot \mu =\frac{1}{4}$ となるので $\mu =\sqrt{\frac{t}{2}}.$ この三角形の場合の条件は $\frac{1}{2}\leqq t\leqq 2$ である。

このとき，線分 $x=a$ 上で濡れる長さは，液面の高さ $y=\mu -at$ で与えられる。したがって $g(t)=\sqrt{\frac{t}{2}}-at\left(\frac{1}{2}\leqq t\leqq 2\right)$ を最大にすればよい。

なお，$0\leqq t<1/2$ では液面は右辺にも当たり，面積条件から $\mu =1/4+t/2$ となる。このとき濡れる長さは $\frac{1}{4}+t\left(\frac{1}{2}-a\right)$ であり，$a\leqq 1/2$ では $t=1/2$ の値を超えない。また，$t>2$ では液面は上辺にも当たり，面積条件から $\mu =1/2+t/4$ となる。このとき濡れる長さは $\frac{1}{2}+t\left(\frac{1}{4}-a\right)$ であり，$a>1/4$ では $t=2$ の値を超えない。したがって本問の範囲では $g(t)$ の最大を調べればよい。

(1)

$a=1/2$ のとき $g(t)=\sqrt{\frac{t}{2}}-\frac{t}{2}.$ $1/2\leqq t\leqq 2$ で微分すると $g^{\prime }(t)=\frac{1}{2\sqrt{2t}}-\frac{1}{2}$ であり，$g^{\prime }(t)=0$ は $t=1/2$ である。よって最大値は $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ である。したがって $\boxed{f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}}$ である。

(2)

$1/4<a<1/2$ とする。$g(t)=\sqrt{t/2}-at$ より $g^{\prime }(t)=\frac{1}{2\sqrt{2t}}-a.$ $g^{\prime }(t)=0$ から $\sqrt{2t}=\frac{1}{2a},t=\frac{1}{8a^2}$ を得る。$1/4<a<1/2$ なので $\frac{1}{2}<\frac{1}{8a^2}<2$ であり，これは許された範囲内にある。

したがって