北海道大学 1998年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

曲線 $y = x^{2}$ 上の異なる2点 $P (a, a^{2})$ ， $Q (b, b^{2})$ における接線を，それぞれ， $l$ ， $m$ とする．このとき，次の問に答えよ．

(1) $l$ と $m$ の交点 $R$ の座標を， $a$ ， $b$ を用いて表せ．

(2) $θ = ∠ P R Q$ とする． $R$ が $(\frac{3 + 1}{2}, \frac{2 3 + 3}{4})$ に一致するとき， $(tan θ)^{2}$ および $(tan 2 θ)^{2}$ を求めよ．

出典：北海道大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

接線の方程式は $y = 2 a x - a^{2}$ ， $y = 2 b x - b^{2}$ とすぐ書けるので，交点から $(a + b) /2$ と $ab$ を得る。(2) では指定された $R$ の座標から $a + b$ ， $ab$ を決め， $(a - b)^{2}$ を計算する。二接線のなす角は傾き $2 a, 2 b$ の公式で求め，最後に二倍角の公式で $(tan 2 θ)^{2}$ に進む。

解答

(1)

曲線 $y = x^{2}$ の $x = a$ における接線は $y = 2 a (x - a) + a^{2} = 2 a x - a^{2}$ である。同様に， $x = b$ における接線は $y = 2 b x - b^{2}$ である。

交点 $R$ の $x$ 座標を求めるため，二式を等しいとおく。 $2 a x - a^{2} = 2 b x - b^{2}$ $a \neq = b$ なので $2 x (a - b) = (a - b) (a + b)$ より $x = \frac{a + b}{2} .$ これを $y = 2 a x - a^{2}$ に代入すると $y = a (a + b) - a^{2} = ab$ である。したがって $R = (\frac{a + b}{2}, ab)$ である。

(2)

条件より $\frac{a + b}{2} = \frac{3 + 1}{2}, ab = \frac{2 3 + 3}{4}$ である。したがって $a + b = 3 + 1$ であり，

(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4 ab = (3 + 1)^{2} - (23 + 3) = 1.

二本の接線の傾きはそれぞれ $2 a, 2 b$ である。よって，二直線のなす角 $θ$ について $tan θ = \frac{2 a - 2 b}{1 + 4 ab}$ である。したがって $(tan θ)^{2} = \frac{4 ( a - b ) ^{2}}{( 1 + 4 ab ) ^{2}} .$ ここで $1 + 4 ab = 1 + (23 + 3) = 4 + 23 = 2 (2 + 3)$ なので

(tan θ)^{2} = \frac{4}{4 ( 2 + 3 ) ^{2}} = \frac{1}{( 2 + 3 ) ^{2}} = (2 - 3)^{2} .

さらに $t = tan θ$ とすると， $t^{2} = (2 - 3)^{2}$ であり， $0 < θ < 9 0^{\circ}$ なので $t = 2 - 3$ と取れる。二倍角の公式より $tan 2 θ = \frac{2 t}{1 - t ^{2}} .$ よって

(tan 2 θ)^{2} = {\frac{2 ( 2 - 3 )}{1 - ( 2 - 3 ) ^{2}}}^{2} = \frac{1}{3} .

したがって $(tan θ)^{2} = (2 - 3)^{2}, (tan 2 θ)^{2} = \frac{1}{3}$ である。

北海道大学 1998年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1998年度
後期・理系数学後期第3問