北海道大学 1998年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上の点を $x=2\cos t,y=\sin t$ とおく。点 $(x,y)$ から直線 $x-2\sqrt{3}y+8=0$ までの距離は

である。

ここで $x-2\sqrt{3}y+8=2\cos t-2\sqrt{3}\sin t+8=4\cos (t+60^{\circ })+8$ である。$4\cos (t+60^{\circ })+8$ は最小でも $4$ なので正である。したがって距離は $\frac{8+4\cos (t+60^{\circ })}{\sqrt{13}}$ である。

最大は $\cos (t+60^{\circ })=1$ のときで，値は $\boxed{\frac{12}{\sqrt{13}}}$ である。このとき $t+60^{\circ }=0^{\circ }$ と取れば

最小は $\cos (t+60^{\circ })=-1$ のときで，値は $\boxed{\frac{4}{\sqrt{13}}}$ である。このとき $t+60^{\circ }=180^{\circ }$ と取れば $P=(2\cos 120^{\circ },\sin 120^{\circ })=\left(-1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ 別解。$X=x/2$ とおくと $X^2+y^2=1$ である。距離の分子は $2X-2\sqrt{3}y+8=2(X-\sqrt{3}y)+8$ である。単位円上で $X-\sqrt{3}y$ の最大値は $2$，最小値は $-2$ なので，分子の最大・最小は $12,4$ である。等号はそれぞれ $(X,y)=(1/2,-\sqrt{3}/2)$，$(X,y)=(-1/2,\sqrt{3}/2)$ で成り立ち，同じ座標が得られる。