北海道大学 1998年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

次の条件で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

a_{1} = 1, \frac{2 ^{n}}{n !} = k = 1 \sum n + 1 a_{k} a_{n + 2 - k} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

出典：北海道大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

右辺は畳み込み型の和で， $a_{1} = 1$ なので各 $n$ の式には $2 a_{n + 1}$ が含まれる。したがって前の項が決まれば次の項は一意に決まる。候補 $a_{n} = 1/ (n - 1)!$ を代入し， $j = k - 1$ と置いて二項係数の和に直せば条件を満たすことが分かる。

解答

右辺の和には， $k = 1$ の項 $a_{1} a_{n + 1}$ と $k = n + 1$ の項 $a_{n + 1} a_{1}$ が含まれる。 $a_{1} = 1$ だから，この二つは合わせて $2 a_{n + 1}$ である。その他の項は $a_{1}, \dots, a_{n}$ だけで決まるので，条件を満たす数列は一意に決まる。

いま $a_{n} = \frac{1}{( n - 1 )!}$ とおくと， $a_{1} = 1$ である。また

k = 1 \sum n + 1 a_{k} a_{n + 2 - k} = k = 1 \sum n + 1 \frac{1}{( k - 1 )!} \frac{1}{( n + 1 - k )!} .

ここで $j = k - 1$ とおくと， $j = 0, 1, \dots, n$ であり，

k = 1 \sum n + 1 a_{k} a_{n + 2 - k} = j = 0 \sum n \frac{1}{j ! ( n - j )!} = \frac{1}{n !} j = 0 \sum n_{n} C_{j} = \frac{2 ^{n}}{n !} .

よってこの候補は与えられた条件を満たす。一意性より，求める一般項は $a_{n} = \frac{1}{( n - 1 )!}$ である。

北海道大学 1998年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

北海道大学 1998年度
後期・理系数学後期第2問