北海道大学 1997年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

曲線は $y=p{x}^p$ である。導関数は $y^{\prime }=p^2{x}^{p-1}$ だから、点 $(a_k,p{a}_k^p)$ における接線 $l_k$ は $y-p{a}_k^p=p^2{a}_k^{p-1}(x-a_k)$ である。

この接線と $x$ 軸との交点では $y=0$ なので $-p{a}_k^p=p^2{a}_k^{p-1}(x-a_k)$ である。$a_k>0$ より割り算して $x-a_k=-\frac{a_k}{p}$ となる。したがって $x=\frac{p-1}{p}{a}_k$ である。これが $a_{k+1}$ だから $a_{k+1}=\frac{p-1}{p}{a}_k$ である。 $a_1=1$ より、$a_k$ は公比 $(p-1)/p$ の等比数列である。したがって $a_k={\left(\frac{p-1}{p}\right)}^{k-1}$ である。

(2)

以後 $q=\frac{p-1}{p}$ とおく。すると $a_{k+1}=q{a}_k$ であり、$0<q<1$ である。

まず $A_k$ を求める。三角形の底辺は $a_k-a_{k+1}=a_k(1-q)=\frac{a_k}{p}$ であり、高さは $p{a}_k^p$ である。よって $A_k=\frac{1}{2}\cdot \frac{a_k}{p}\cdot p{a}_k^p=\frac{1}{2}{a}_k^{p+1}$ である。したがって ${\sum }_{k=1}^n{A}_k=\frac{1}{2}{\sum }_{k=1}^n{q}^{(k-1)(p+1)}$ であり、$0<q^{p+1}<1$ だから ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^n{A}_k=\frac{1}{2(1-q^{p+1})}$ である。

次に $B_k$ を求める。接線の式は、$x=a_{k}t$ とおくと $y=p{a}_k^p\{1+p(t-1)\}$ となる。一方、曲線は $y=p(a_{k}t{)}^p=p{a}_k^p{t}^p$ である。$p>1$ なので曲線 $y=p{x}^p$ は下に凸であり、接線は曲線の下側にある。したがって $B_k={\int }_{a_{k+1}}^{a_k}\{p{x}^p-\text{接線の }y\}dx$ である。$x=a_{k}t$、$dx=a_{k}dt$、積分範囲 $q\leqq t\leqq 1$ を用いると $B_k=p{a}_k^{p+1}{\int }_q^1\{t^p-1-p(t-1)\}dt$ である。

ここで ${\int }_q^1{t}^{p}dt=\frac{1-q^{p+1}}{p+1}$ である。また、直線 $1+p(t-1)$ は $t=q$ で0、$t=1$ で1となるので ${\int }_q^1\{1+p(t-1)\}dt=\frac{1-q}{2}=\frac{1}{2p}$ である。したがって $p{\int }_q^1\{t^p-1-p(t-1)\}dt=\frac{p(1-q^{p+1})}{p+1}-\frac{1}{2}$ である。よって $B_k=\left\{\frac{p(1-q^{p+1})}{p+1}-\frac{1}{2}\right\}{a}_k^{p+1}$ である。

したがって

であり、整理して

である。$q=(p-1)/p$ を戻すと

であり、

である。