問題
を正の実数とし，
とおく．ただし，対数は自然対数とする．の方程式について，の範囲にある異なる実数解の個数を求めよ．
出典：北海道大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
定義域は であり、関数 は奇関数である。したがって は常に解で、正の解の個数を調べればよい。導関数 の符号を と に分け、正の側で単調増加か、いったん減少してから増加かを調べる。 で になることも使う。
解答
まず定義域は である。 について であるから、 は奇関数である。また なので、 は常に解である。
導関数を求めると である。
まず の場合を考える。 では だから である。したがって が で成り立つ。よって は正の側で増加し、 だから正の解はない。奇関数性から負の解もない。したがって解は の1個である。
次に の場合を考える。このとき である。 は すなわち である。正の側では がただ1つの臨界点である。 では 、 では となるので、 は正の側でいったん減少し、その後増加する。
また である。 の直後では は減少するので負になり、その後増加して に向かう。したがって正の解はちょうど1個である。奇関数性により負の解も1個ある。よって解の個数は である。
以上より、異なる実数解の個数は
である。