問題
座標平面において，軸上に3個の点，，をとり，直線上に個の点，，，，をとる．ただし，はなる無理数とする．点と点を結ぶ線分を とし，これら本の線分から生じる交点の総数をとする．ただし，，は交点とはみなさない．
(1) どの交点においても，これらの線分の中の3本が同時に交わることはない．このことを証明せよ．
(2) を求めよ．
(3) を求めよ．
方針
線分の交点は、下側の点の順序と上側の点の順序が逆になった2本から生じる。(1)では、もし3本が内部で同時に交わるなら、3本はそれぞれ異なる と異なる を結ぶはずなので、高さ における 座標を比較する。無理数 が有理式で表されてしまう矛盾を出す。三重点がないので、交点数は交わる線分2本の組数として数えられる。
解答
(1)
線分の内部の交点を考える。2本の線分が同じ を共有すれば、それらの共通点は だけであり、これは交点に数えない。同じ を共有する場合も同様である。したがって、内部で3本が同時に交わるとすれば、それらは から出て、互いに異なる に向かう3本である。
高さ 、 における線分 の 座標を考える。 と書けば、その 座標は である。ここで である。
もし 、、 が同じ点で交わるなら である。まず から となるので、 は有理数である。次に から を得る。右辺は有理数であるから が有理数になってしまう。これは が無理数であるという仮定に反する。したがって3本が同時に交わることはない。
(2)
内部で交わる2本の線分は、下側の点の順序と上側の点の順序が逆になっているとき、かつそのときに限られる。下側の点の組は 通りであり、上側の点の組は から2点を選ぶので 通りである。下側の2点と上側の2点を決めると、交わる線分の組はちょうど1組決まる。
(1)より三重点がないので、異なる線分の組が同じ交点を作ることもない。したがって である。よって に対して である。
(3)
(2)で得た式からただちに である。
別解。(2)だけを直接見るなら、新しく加わる点 と下側の3点を結ぶ3本を考える。既存の から1点を選び、下側の点を2点選ぶと、新しい交点が1つ増える。したがって増分は である。