問題
を正の実数，を実数とし，2次関数のグラフをとする．
(1) 軸に平行な直線がと相異なる2点で交わるための実数に対する条件を求めよ．このとき2つの交点のうち，座標が小さい方を，他方をとする．，の座標を求めよ．
(2) は(1)の条件とを満たすとする．点，を通る軸に平行な直線が軸と交わる点をそれぞれ，とする．長方形の周の長さをの関数とみて，とする．の取りうる値の範囲を求めよ．
出典：北海道大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
放物線を平方完成して と見る。水平線 との交点は のとき2点で、座標は となる。長方形の幅は 、高さは なので、。 と置いて開区間 上の下に凸でない二次式の値域を調べる。
解答
(1)
与えられた2次関数は である。水平線 と交わる点は を満たす。すなわち である。相異なる2点で交わるための条件は つまり である。
このとき2つの交点は である。 座標が小さい方を 、大きい方を とするから である。
(2)
今はさらに なので である。長方形 の高さは 、幅は である。したがって周の長さは である。 とおくと、 より である。また なので である。 のとき、 であるから、 はこの区間で増加する。したがって端点はどちらも含まれず、値域は である。 のとき、 が区間内に入るので最大値は であり、これは実際に取られる。下限は区間の両端に近づけたときの値 の小さい方である。ただし端点は含まれないので、値域は である。