問題
は3以上の整数とする．
(1) を次多項式とする．1以上のすべての整数に対し，はの倍数であることを示せ．
(2) はの係数を1とする次多項式とする．
のの係数および
のの係数をそれぞれ求めよ．
(3) を1以上の整数，を(2)の多項式とする．1以上のすべての整数についてが整数でを約数にもつとき，はの約数であることを示せ．
方針
(1)は連続する 個の整数の積を組合せの形にして の倍数と見る。(2)は差 が次数を1つ下げ、最高次係数に次数が掛かることを、上位係数だけで確認する。(3)ではこの差分操作を 回繰り返すと定数 が残る。一方、仮定の「すべての正整数 で の倍数」は差を取っても保たれるので、最後に が従う。
解答
(1)
正の整数 に対して である。これは と書ける。 は整数であるから、 は の倍数である。
(2)
は の係数が の 次多項式であるから、 と書ける。すると において、最高次の寄与は である。 は高くても までしか含まないので、 の の係数は である。
同様に、 は の係数が の 次多項式である。したがって の最高次の寄与は である。よって の の係数は である。
(3)
とおき、 に対して と定める。仮定より、すべての正の整数 について は整数であり、かつ の倍数である。
もし がすべての正の整数 について整数かつ の倍数なら、 も整数かつ の倍数である。したがって帰納的に、すべての について は正の整数 で整数かつ の倍数である。
一方、(2)の考えを繰り返すと、差を1回取るごとに次数が1つ下がり、最高次係数には現在の次数が掛かる。したがって は定数多項式で、その値は である。
特に正の整数 に対して であり、先ほどの結論からこれは の倍数である。よって 、すなわち は の約数である。