北海道大学 1996年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$0 < a ≦ b$ とし，平面 $a x + a y + b z = 1$ と平面 $z = 0$ のなす角を $α$ とする．平面 $a x + a y + b z = 1$ と集合 ${(x, y, z) ∣ x ≧ 0, y ≧ 0, z ≧ 0}$ との共通部分の作る三角形の最大の内角を $β$ とする．

(1) $tan α$ を $a$ ， $b$ で表せ．

(2) $tan β$ を $a$ ， $b$ で表せ．

(3) $tan α tan β$ が最小となるときの $tan α$ ， $tan β$ を求めよ．

出典：北海道大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は2平面の法線ベクトルのなす角から $tan α$ を出す。(2)は座標軸との切片でできる三角形を明示し、 $0 < a ≦ b$ から最長辺が $X Y$ であることを確認して、最大角が $Z$ の角だと決める。その角は内積で $cos β$ を求め、 $tan β$ に直す。(3)は $b / a ≧ 1$ だけの一変数評価に落とす。

解答

(1)

平面 $a x + a y + b z = 1$ の法線ベクトルは $(a, a, b)$ であり、平面 $z = 0$ の法線ベクトルは $(0, 0, 1)$ である。したがって2平面のなす角 $α$ について $cos α = \frac{b}{a ^{2} + a ^{2} + b ^{2}} = \frac{b}{2 a ^{2} + b ^{2}}$ である。よって $tan α = \frac{2 a ^{2}}{b} = \frac{2 a}{b}$ である。

(2)

平面と3つの座標軸との交点を

X (\frac{1}{a}, 0, 0), Y (0, \frac{1}{a}, 0), Z (0, 0, \frac{1}{b})

とおく。この3点が共通部分の三角形の頂点である。

辺の長さは

X Y = \frac{2}{a}, X Z = Y Z = \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab}

である。 $0 < a ≦ b$ より $X Z^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{a ^{2} b ^{2}} ≦ \frac{2 b ^{2}}{a ^{2} b ^{2}} = \frac{2}{a ^{2}} = X Y^{2}$ であるから、最長辺は $X Y$ であり、最大角はその向かい側の $∠ X Z Y$ である。したがって $β = ∠ X Z Y$ とすればよい。

ベクトル

Z X = (\frac{1}{a}, 0, - \frac{1}{b}), Z Y = (0, \frac{1}{a}, - \frac{1}{b})

を用いると、 $Z X \cdot Z Y = \frac{1}{b ^{2}}$ であり、 $∣ Z X ∣ = ∣ Z Y ∣ = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab}$ である。よって $cos β = \frac{1/ b ^{2}}{( a ^{2} + b ^{2} ) / ( a ^{2} b ^{2} )} = \frac{a ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} .$ したがって

tan β = \frac{1 - cos ^{2} β}{cos β} = \frac{b 2 a ^{2} + b ^{2}}{a ^{2}} .

(3)

(1)(2)より

tan α tan β = \frac{2 a}{b} \cdot \frac{b 2 a ^{2} + b ^{2}}{a ^{2}} = 2 2 + (\frac{b}{a})^{2} .

ここで $0 < a ≦ b$ だから $b / a ≧ 1$ である。したがって上の値は $b / a = 1$ 、すなわち $a = b$ のとき最小となる。このとき $tan α = \frac{2 a}{a} = 2$ であり、 $tan β = \frac{a 3 a ^{2}}{a ^{2}} = 3$ である。

北海道大学 1996年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 1996年度
後期・理系数学後期第2問