北海道大学 1996年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

範囲 $x ≧ 0$ で定義された関数 $f (x)$ が $x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 1$ を満たすとき，次の問に答えよ．

(1) $e^{x} ≧ 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ $(x ≧ 0)$ を示せ．

(2) $x \to \infty lim f (x) e^{- x} = 0$ を示せ．

(3) $t \to \infty lim \int_{0}^{t} {f (x) - f^{'} (x)} e^{- x} d x = f (0)$ を示せ．

出典：北海道大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1)は $e^{x} - 1 - x - x^{2} /2$ の増減を微分で調べる。(2)は $f (x) / x \to 1$ から $f (x)$ が高々一次程度であることを使い、(1)の不等式から $x e^{- x} \to 0$ を示す。(3)は $f (x) e^{- x}$ の微分が被積分関数の符号違いになっていることを見抜き、部分積分ではなく微分形をそのまま積分する。

解答

(1)

$ϕ (x) = e^{x} - 1 - x - \frac{x ^{2}}{2}$ とおく。すると $ϕ^{'} (x) = e^{x} - 1 - x, ϕ^{''} (x) = e^{x} - 1$ である。 $x ≧ 0$ では $e^{x} ≧ 1$ なので $ϕ^{''} (x) ≧ 0$ である。よって $ϕ^{'} (x)$ は $x ≧ 0$ で単調増加し、 $ϕ^{'} (0) = 0$ から $ϕ^{'} (x) ≧ 0$ である。さらに $ϕ (0) = 0$ なので、 $ϕ (x) ≧ 0$ となる。したがって $e^{x} ≧ 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} (x ≧ 0)$ が示された。

(2)

仮定 $lim_{x \to \infty} \frac{f ( x )}{x} = 1$ より、十分大きい $x$ について $∣ f (x) ∣ ≦ 2 x$ としてよい。一方、(1)より $e^{x} ≧ \frac{x ^{2}}{2}$ であるから、 $x > 0$ で $x e^{- x} ≦ \frac{2}{x}$ である。したがって十分大きい $x$ では $∣ f (x) e^{- x} ∣ ≦ 2 x e^{- x} ≦ \frac{4}{x}$ となる。右辺は $x \to \infty$ で $0$ に近づくので、 $lim_{x \to \infty} f (x) e^{- x} = 0$ である。

(3)

積の微分を計算すると ${f (x) e^{- x}}^{'} = f^{'} (x) e^{- x} - f (x) e^{- x} = {f^{'} (x) - f (x)} e^{- x}$ である。したがって ${f (x) - f^{'} (x)} e^{- x} = - {f (x) e^{- x}}^{'}$ であり、

\int_{0}^{t} {f (x) - f^{'} (x)} e^{- x} d x = - \int_{0}^{t} {f (x) e^{- x}}^{'} d x = f (0) - f (t) e^{- t} .

(2)より $f (t) e^{- t} \to 0$ であるから、 $lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} {f (x) - f^{'} (x)} e^{- x} d x = f (0)$ が成り立つ。

北海道大学 1996年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 1996年度
後期・理系数学後期第1問