北海道大学 1996年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

関数 $f (x) = \frac{1}{2} (x + \frac{2}{x})$ ， $(x > 0)$ について次の操作を行う． $x_{1} > 2$ とする．直線 $x = x_{1}$ が曲線 $y = f (x)$ と交わる点を $P_{1}$ とする． $P_{1}$ から $x$ 軸に平行に引いた直線が直線 $y = x$ と交わる点を $Q_{1}$ とし， $Q_{1}$ から $x$ 軸への垂線と曲線 $y = f (x)$ の交点を $P_{2}$ とする．点 $P_{2}$ の $x$ 座標を $x_{2}$ とする． $x_{1}$ から $x_{2}$ を定めたように $x_{2}$ から $x_{3}$ を定め，以下同じように $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $\dots\dots$ を定める．

(1) $x_{n}$ と $x_{n + 1}$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ の関係を漸化式の形で与えよ．

(2) $0 ≦ x_{n + 1} - 2 ≦ \frac{1}{2} (x_{n} - 2)$ であることを示し， $n \to \infty lim x_{n} = 2$ を証明せよ．

(3) 範囲 $x > 2$ で定義された関数 $g (x)$ のグラフ上の点 $(t, g (t))$ ， $(t > 2)$ における接線が $x$ 軸と1点で交わるとし，その交点の $x$ 座標を $h (t)$ とする． $t$ と $h (t)$ の関係が(1)で求めた $x_{n}$ と $x_{n + 1}$ の関係に等しいとき，関数 $g (x)$ の形を求めよ．

出典：北海道大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

作図の1段階は、水平移動で直線 $y = x$ に当てた点の座標がそのまま次の $x$ 座標になるので、 $x_{n + 1} = f (x_{n})$ と読める。収束は $x_{n + 1} - 2$ を $(x_{n} - 2)^{2} / (2 x_{n})$ に変形し、誤差が少なくとも半分以下になることを示す。(3)は接線の $x$ 軸切片 $h (t) = t - g (t) / g^{'} (t)$ を(1)の式と同一視し、 $g^{'} / g$ を積分して関数形を決める。

解答

(1)

$P_{n}$ は曲線 $y = f (x)$ 上の点で、 $x$ 座標が $x_{n}$ であるから $P_{n} = (x_{n}, f (x_{n}))$ である。ここから $x$ 軸に平行な直線を引くと、直線 $y = x$ との交点は $Q_{n} = (f (x_{n}), f (x_{n}))$ である。さらに $Q_{n}$ から $x$ 軸に垂線を下ろした直線は $x = f (x_{n})$ であり、曲線との交点の $x$ 座標が $x_{n + 1}$ である。したがって $x_{n + 1} = f (x_{n}) = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{2}{x _{n}})$ である。

(2)

$x_{n} > 2$ とすると、(1)より

x_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{2}{x _{n}}) - 2 = \frac{x _{n}^{2} + 2 - 2 2 x _{n}}{2 x _{n}} = \frac{( x _{n} - 2 ) ^{2}}{2 x _{n}}

である。したがって $x_{n + 1} - 2 ≧ 0$ であり、 $x_{n + 1} ≧ 2$ である。また $x_{n} > 2$ より $\frac{( x _{n} - 2 ) ^{2}}{2 x _{n}} ≦ \frac{1}{2} (x_{n} - 2)$ であるから、 $0 ≦ x_{n + 1} - 2 ≦ \frac{1}{2} (x_{n} - 2)$ が成り立つ。

これを繰り返すと $0 ≦ x_{n} - 2 ≦ (\frac{1}{2})^{n - 1} (x_{1} - 2)$ となる。右辺は $n \to \infty$ で $0$ に近づくので、はさみうちにより $lim_{n \to \infty} x_{n} = 2$ である。

別解。より強く、 $u_{n} = \frac{x _{n} - 2}{x _{n} + 2}$ とおく。 $x_{n} > 2$ なので $0 < u_{n} < 1$ である。(1)の式から

x_{n + 1} - 2 = \frac{( x _{n} - 2 ) ^{2}}{2 x _{n}}, x_{n + 1} + 2 = \frac{( x _{n} + 2 ) ^{2}}{2 x _{n}}

となるので、 $u_{n + 1} = u_{n}^{2}$ である。したがって $u_{n} = u_{1}^{2^{n - 1}} \to 0$ であり、これからも $x_{n} \to 2$ が分かる。

(3)

点 $(t, g (t))$ における接線は $y - g (t) = g^{'} (t) (x - t)$ である。この接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $h (t)$ とすると、 $y = 0$ を代入して $0 - g (t) = g^{'} (t) (h (t) - t)$ である。よって $h (t) = t - \frac{g ( t )}{g ^{'} ( t )}$ となる。

この $h (t)$ と $t$ の関係が (1) の $x_{n + 1}$ と $x_{n}$ の関係に等しいので、 $t - \frac{g ( t )}{g ^{'} ( t )} = \frac{1}{2} (t + \frac{2}{t})$ である。したがって $\frac{g ( t )}{g ^{'} ( t )} = \frac{t ^{2} - 2}{2 t}$ となり、 $\frac{g ^{'} ( t )}{g ( t )} = \frac{2 t}{t ^{2} - 2}$ を得る。 $t > 2$ であるから $t^{2} - 2 > 0$ であり、積分して $lo g ∣ g (t) ∣ = lo g (t^{2} - 2) + 定数$ となる。よって $g (x) = C (x^{2} - 2)$ である。ただし、接線が $x$ 軸と1点で交わるため $C \neq = 0$ である。

北海道大学 1996年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 1996年度
後期・理系数学後期第3問