北海道大学 1996年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ $(n ≧ 1)$ は，1以上のすべての整数 $m$ ， $n$ に対して次の関係式を満たすとする．

(n + 2 m) a_{n} - (m + 2 n) a_{m} + (m - n) a_{n + m} = 0

(1) $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 6$ とするとき，一般項 $a_{n}$ を求めよ．

(2) $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ とするとき，一般項 $a_{n}$ を求めよ．

出典：北海道大学 1996年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

与式で $m = 1$ とおくと、 $a_{1}$ と $a_{n}$ から $a_{n + 1}$ を決める漸化式が得られる。これにより、条件を満たす数列が存在するなら初期値 $a_{1}, a_{2}$ だけで全項が一意に決まる。一般には $a_{n} - a_{1} n$ が $n (n^{2} - 1)$ 型に従うので、2組の初期値を同じ枠組みで処理する。

解答

与えられた関係式に $m = 1$ を代入すると $(n + 2) a_{n} - (1 + 2 n) a_{1} + (1 - n) a_{n + 1} = 0$ である。 $n ≧ 2$ ではこれを $(n - 1) a_{n + 1} = (n + 2) a_{n} - (2 n + 1) a_{1}$ と書ける。

ここで $b_{n} = a_{n} - a_{1} n$ とおく。上の式に $a_{n} = b_{n} + a_{1} n$ 、 $a_{n + 1} = b_{n + 1} + a_{1} (n + 1)$ を代入すると、 $(n - 1) b_{n + 1} = (n + 2) b_{n}$ を得る。したがって $n ≧ 2$ について $\frac{b _{n + 1}}{( n + 1 ) n ( n + 2 )} = \frac{b _{n}}{n ( n - 1 ) ( n + 1 )}$ であり、 $b_{n}$ は $n (n^{2} - 1)$ に比例する。

(1)

$a_{1} = 0$ 、 $a_{2} = 6$ だから $b_{n} = a_{n}$ 、 $b_{2} = 6$ である。 $2 (2^{2} - 1) = 6$ なので、比例定数は $1$ であり、 $a_{n} = n (n^{2} - 1)$ である。

実際、 $n = 1$ で $a_{1} = 0$ 、 $n = 2$ で $a_{2} = 6$ を満たす。また上で得た漸化式によって全項が一意に定まるため、これが求める一般項である。

(2)

$a_{1} = 1$ 、 $a_{2} = 2$ であるから $b_{2} = a_{2} - 2 a_{1} = 0$ である。漸化式 $(n - 1) b_{n + 1} = (n + 2) b_{n}$ より、 $b_{2} = 0$ ならすべての $n ≧ 2$ で $b_{n} = 0$ である。よって $a_{n} = a_{1} n = n$ である。

北海道大学 1996年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1996年度
文系数学前期第4問