北海道大学 1996年度
文系数学 前期 第1問

解答

(1)

重複解は $f(x)=0$ と $f^{\prime }(x)=0$ を同時に満たす。ここで $f^{\prime }(x)=3x^2-3p^2=3(x-p)(x+p)$ であるから、重解の候補は $x=p$ または $x=-p$ である。$p>0$ で、しかも $\alpha <\beta$ かつ $\alpha$ が重複解であるから、小さい方の重解は $\alpha =-p$ でなければならない。

したがって $f(-p)=0$ より $(-p{)}^3-3p^2(-p)+q=2p^3+q=0$ となるので、$q=-2p^3$ である。このとき $f(x)=x^3-3p^{2}x-2p^3=(x+p{)}^2(x-2p)$ と因数分解できるから、もう一つの実数解は $\beta =2p$ である。

(2)

$-p\leqq x\leqq 2p$ では $(x+p{)}^2\geqq 0$ かつ $x-2p\leqq 0$ であるから、$f(x)\leqq 0$ である。したがって求める面積 $S$ は $S=-{\int }_{-p}^{2p}(x+p{)}^2(x-2p)dx$ である。$u=x+p$ とおくと、$x-2p=u-3p$、積分範囲は $0\leqq u\leqq 3p$ となるので、

これが $2p$ に等しいから、$p>0$ より $\frac{27}{4}{p}^4=2p,p^3=\frac{8}{27}.$ よって $p=\frac{2}{3}$ である。

別解。$f(x)$ が $\alpha$ を重解、$\beta$ を単解にもつことから $f(x)=(x-\alpha {)}^2(x-\beta )$ とおける。$x^2$ の係数が $0$ であるため $2\alpha +\beta =0$ であり、$x$ の係数を比べると ${\alpha }^2+2\alpha \beta =-3p^2.$ $\beta =-2\alpha$ を代入すると $-3{\alpha }^2=-3p^2$、すなわち $\alpha =\pm p$ である。さらに $\alpha <\beta =-2\alpha$ より $\alpha <0$ だから $\alpha =-p$、$\beta =2p$ と決まる。定数項からも $q=-{\alpha }^2\beta =-2p^3$ が得られ、以後の面積計算は上と同じである。