問題
次の問に答えよ．
(1) 円と直線との交点を求めよ．
(2) 連立不等式，の表す領域を点が動くとき，のとる値の最大値をを使って表せ．ただし，は実数でとする．
出典：北海道大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
(1)は直線を円に代入して交点を出す。(2)は領域が円板を直線で切った凸領域であることを使い、線形関数 の最大点を、円周上の接点候補と弦 上の端点候補に分けて調べる。接点候補が半平面内に入る条件が 、弦上では係数 の符号が分岐点になる。
解答
(1)
直線 から である。これを円 に代入すると であり、整理して を得る。したがって で、それぞれ となるから、交点は である。
(2)
まず円 だけを考える。ベクトル の方向に最も遠い点で は最大となるので、その候補は であり、このときの値は である。この点がさらに を満たす条件は すなわち である。 より、これは と同値である。したがって では最大値は である。
次に を考える。このとき円周上の接点候補は半平面の外にあるので、最大点は切り取られた弦 上にある。弦の端点は (1) より 、 であり、弦上では 、 と書ける。よって したがって では で最大、 では で最大である。境界値では同じ値になるので、求める最大値は
である。