問題
行列の表す平面の1次変換をとするとき，は次の条件（イ），（ロ）を満たすとする．
（イ） は格子点を格子点に移す．
（ロ） によって格子点に移される点は格子点にかぎる．
ここに格子点とは座標が整数の組となる平面の点をいう．
(1) の値を求めよ．
(2) を正の整数とする．4点
を結んでできる平行四辺形の（辺および頂点を除く）内部に含まれる格子点の個数を求めよ．
出典：北海道大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
条件（イ）から が整数であることをまず押さえる。条件（ロ）は、変換後が格子点なら元の点も格子点であるという逆向きの格子保存条件なので、整数行列の逆も整数係数になる必要があり、行列式が に限られる。(2)では の行列が格子点全体を一対一に移すことを利用し、与えられた平行四辺形を正方形 の像として数える。
解答
(1)
変換 は である。条件（イ）より、任意の整数 に対して が整数でなければならない。特に を代入して、 は整数である。
さらに条件（ロ）は、 が格子点ならば も格子点である、という意味である。したがって、格子点を格子点へ移すだけでなく、格子点全体の間で逆向きにも戻れる必要がある。整数行列
の逆行列が格子点を格子点に移すためには、行列式の絶対値が でなければならない。よって である。これを解くと 前者は で整数でなく、後者は である。したがって である。
(2)
のとき、行列 の列ベクトルは
である。したがって、与えられた平行四辺形は で表される。
(1)で得た より、 は格子点全体を格子点全体へ一対一に移す。したがって、平行四辺形の内部にある格子点の個数は、正方形 の内部にある格子点の個数と等しい。ここで は整数でなければならないから、 である。よって内部の格子点の個数は である。