北海道大学 1995年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

次の問に答えよ．

(1) 曲線 $y = 2 e^{- x} sin x$ $(0 ≦ x ≦ nπ)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S_{n}$ を求めよ．ただし， $n$ は正の整数， $e$ は自然対数の底とする．

(2) $n \to \infty lim S_{n}$ を求めよ．

出典：北海道大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

$sin x$ の符号は長さ $π$ の区間ごとに一定なので，各区間 $[k π, (k + 1) π]$ に分けて絶対値を外す。1区間ごとの面積が等比的に減ることを確認し，等比数列の和として $S_{n}$ と極限を求める。

解答

(1)

面積なので $S_{n} = \int_{0}^{nπ} 2 e^{- x} ∣ sin x ∣ d x$ である。区間 $[k π, (k + 1) π]$ では $sin x$ の符号が一定であり， $∣ sin x ∣ = (- 1)^{k} sin x$ である。そこで $k = 0, 1, \dots, n - 1$ について1区間分の面積を求める。

まず $\int 2 e^{- x} sin x d x = - e^{- x} (sin x + cos x)$ である。したがって

\int_{k π}^{(k + 1) π} 2 e^{- x} ∣ sin x ∣ d x = (- 1)^{k} [- e^{- x} (sin x + cos x)]_{k π}^{(k + 1) π}

となる。端点では $sin k π = 0$ ， $cos k π = (- 1)^{k}$ なので $\int_{k π}^{(k + 1) π} 2 e^{- x} ∣ sin x ∣ d x = e^{- k π} + e^{- (k + 1) π}$ である。

よって

S_{n} = k = 0 \sum n - 1 (e^{- k π} + e^{- (k + 1) π}) = (1 + e^{- π}) k = 0 \sum n - 1 e^{- k π}

である。等比数列の和を用いて $S_{n} = (1 + e^{- π}) \frac{1 - e ^{- nπ}}{1 - e ^{- π}}$ を得る。

(2)

$0 < e^{- π} < 1$ なので $e^{- nπ} \to 0$ である。したがって $n \to \infty lim S_{n} = \frac{1 + e ^{- π}}{1 - e ^{- π}}$ である。

別解。 1区間分の面積は， $x = k π + u$ と置いても求められる。このとき $0 ≦ u ≦ π$ で $∣ sin (k π + u) ∣ = sin u, e^{- (k π + u)} = e^{- k π} e^{- u}$ だから，各区間の面積は $e^{- k π} \int_{0}^{π} 2 e^{- u} sin u d u = e^{- k π} (1 + e^{- π})$ となる。これを $k = 0$ から $n - 1$ まで足しても同じ式になる。

北海道大学 1995年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1995年度
後期・理系数学後期第4問