北海道大学 1995年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

ある1次変換により，直線 $y = x$ と $y = - x$ がそれぞれ自分自身に移り，さらに直線 $y = x$ 上のベクトルは $p$ 倍され，直線 $y = - x$ 上のベクトルは $q$ 倍されるという $(p, q \neq = 0)$ ．この1次変換による $x$ 軸と $y$ 軸の像のなす角を $θ$ $(0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})$ としたとき， $cos θ$ の値を $p$ ， $q$ で表せ．

出典：北海道大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

$x$ 軸方向と $y$ 軸方向の単位ベクトルを， $y = x$ 方向と $y = - x$ 方向の和に分解する。変換後の2本のベクトルを具体的に書き，内積と長さから鋭角側の $cos θ$ を求める。

解答

$x$ 軸方向のベクトル $(1, 0)$ と $y$ 軸方向のベクトル $(0, 1)$ を， $y = x$ 方向と $y = - x$ 方向に分ける。 $(1, 0) = \frac{1}{2} (1, 1) + \frac{1}{2} (1, - 1)$ である。条件より， $(1, 1)$ 方向の成分は $p$ 倍， $(1, - 1)$ 方向の成分は $q$ 倍されるので， $(1, 0)$ の像は

\frac{p}{2} (1, 1) + \frac{q}{2} (1, - 1) = (\frac{p + q}{2}, \frac{p - q}{2})

である。

同様に $(0, 1) = \frac{1}{2} (1, 1) - \frac{1}{2} (1, - 1)$ だから， $(0, 1)$ の像は

\frac{p}{2} (1, 1) - \frac{q}{2} (1, - 1) = (\frac{p - q}{2}, \frac{p + q}{2})

である。

この2つの像を

u = (\frac{p + q}{2}, \frac{p - q}{2}), v = (\frac{p - q}{2}, \frac{p + q}{2})

とおく。内積は

u \cdot v = \frac{( p + q ) ( p - q ) + ( p - q ) ( p + q )}{4} = \frac{p ^{2} - q ^{2}}{2}

であり，長さは

∣ u ∣^{2} = ∣ v ∣^{2} = \frac{( p + q ) ^{2} + ( p - q ) ^{2}}{4} = \frac{p ^{2} + q ^{2}}{2}

である。したがって，2つの像のなす角の余弦は

\frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣} = \frac{p ^{2} - q ^{2}}{p ^{2} + q ^{2}}

である。ただし問題の $θ$ は $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ の角なので，鋭角側を取るため絶対値を付ける。よって $cos θ = \frac{∣ p ^{2} - q ^{2} ∣}{p ^{2} + q ^{2}}$ である。

別解。任意の点 $(x, y)$ について $(x, y) = \frac{x + y}{2} (1, 1) + \frac{x - y}{2} (1, - 1)$ と分解できる。したがって変換後は $\frac{p ( x + y )}{2} (1, 1) + \frac{q ( x - y )}{2} (1, - 1)$ であり，これを $(x, y)$ の係数で整理すると

A = \frac{1}{2} (p + q p - q p - q p + q)

となる。この行列の第1列と第2列がそれぞれ $x$ 軸と $y$ 軸の像なので，その内積を計算しても同じ式が得られる。

北海道大学 1995年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

北海道大学 1995年度
後期・理系数学後期第1問