北海道大学 1995年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

空間内の直線 $l : x = y = z$ と平面 $z = 0$ 上のだ円 $C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ を考える．

(1) だ円 $C$ 上の点 $P (a cos θ, b sin θ, 0)$ と直線 $l$ との距離 $d$ を求めよ．

(2) 点 $P$ がだ円 $C$ 上を動くとき $d^{2}$ の最小値を求めよ．

出典：北海道大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

直線 $l$ の方向ベクトルを $(1, 1, 1)$ とし，点 $P$ から原点を通る直線への距離を「長さの2乗から射影の2乗を引く」形で求める。最小値は $cos 2 θ, sin 2 θ$ を使って，定数項と振動項に分けて読む。

解答

直線 $l : x = y = z$ は原点を通り，方向ベクトルを $e = (1, 1, 1)$ とできる。 $C$ 上の点を $P = (a cos θ, b sin θ, 0)$ とする。

(1)

原点から $P$ へのベクトルを $p = (a cos θ, b sin θ, 0)$ とする。点 $P$ と直線 $l$ との距離の2乗は， $p$ の長さの2乗から， $e$ 方向への射影の長さの2乗を引いたものである。 $∣ p ∣^{2} = a^{2} cos^{2} θ + b^{2} sin^{2} θ$ であり， $∣ e ∣^{2} = 3$ ， $p \cdot e = a cos θ + b sin θ$ だから

d^{2} = a^{2} cos^{2} θ + b^{2} sin^{2} θ - \frac{( a cos θ + b sin θ ) ^{2}}{3}

である。したがって

d = a^{2} cos^{2} θ + b^{2} sin^{2} θ - \frac{( a cos θ + b sin θ ) ^{2}}{3}

となる。

(2)

(1) の式を整理すると

d^{2} = \frac{1}{3} {2 a^{2} cos^{2} θ - 2 ab sin θ cos θ + 2 b^{2} sin^{2} θ}

である。ここで

cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}, sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}, 2 sin θ cos θ = sin 2 θ

を用いると $d^{2} = \frac{1}{3} {a^{2} + b^{2} + (a^{2} - b^{2}) cos 2 θ - ab sin 2 θ}$ となる。 $cos 2 θ, sin 2 θ$ は単位円上を動くので， $(a^{2} - b^{2}) cos 2 θ - ab sin 2 θ$ の最小値は $- (a^{2} - b^{2})^{2} + a^{2} b^{2} = - a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}$ である。よって $min d^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2} - a ^{4} - a ^{2} b ^{2} + b ^{4}}{3}$ である。

別解。 (2) の最後は， $A = a^{2} - b^{2}$ ， $B = - ab$ とおいて $A cos 2 θ + B sin 2 θ = A^{2} + B^{2} cos (2 θ + α)$ の形にまとめてもよい。この表し方を使えば，最小値が $- A^{2} + B^{2}$ であることが直ちに読み取れる。

北海道大学 1995年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1995年度
後期・理系数学後期第2問