北海道大学 1995年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

(1)

$\varphi (x)=x-1+e^{-x}$ とおく。すると ${\varphi }^{\prime }(x)=1-e^{-x}$ であり，$x<0$ で ${\varphi }^{\prime }(x)<0$，$x>0$ で ${\varphi }^{\prime }(x)>0$ である。したがって $\varphi (x)$ は $x=0$ で最小値をとり，$\varphi (0)=0$ である。よってすべての実数 $x$ について $x-1+e^{-x}\geqq 0$ すなわち $\boxed{1-e^{-x}\leqq x}$ が成り立つ。

(2)

$a_n>c$ とする。指数関数 $e^{-x}$ は減少するので $a_{n+1}=e^{-a_n}<e^{-c}=c$ であり，$0<c-a_{n+1}$ がわかる。また $c-a_{n+1}=e^{-c}-e^{-a_n}=e^{-c}\{1-e^{-(a_n-c)}\}$ である。ここで $a_n-c>0$ なので，(1) を $x=a_n-c$ に用いると $1-e^{-(a_n-c)}<a_n-c$ である。したがって $\boxed{0<c-a_{n+1}<e^{-c}(a_n-c)}$ が成り立つ。

(3)

まず $c=e^{-c}$ より $0<c<1$ である。実際，$c>0$ は明らかであり，$c\geqq 1$ なら $c=e^{-c}\leqq e^{-1}<1$ となって矛盾する。 $a_0=0<c$，$a_1=1>c$ である。また，$a_n<c$ なら $a_{n+1}=e^{-a_n}>e^{-c}=c$，$a_n>c$ なら $a_{n+1}<c$ である。よって数列は $c$ の下側と上側を交互に動く。

次に $c$ からの距離が縮むことを示す。$a_n>c$ の場合は (2) と $e^{-c}=c<1$ より $0<c-a_{n+1}<a_n-c$ である。$a_n<c$ の場合は $a_{n+1}-c=e^{-a_n}-e^{-c}=e^{-a_n}\{1-e^{-(c-a_n)}\}$ であり，(1) から $0<a_{n+1}-c<e^{-a_n}(c-a_n)\leqq c-a_n$ となる。したがって各段階で $|a_{n+1}-c|<|a_n-c|$ が成り立つ。

このため偶数番目 $a_{2m}$ は $c$ より小さい側から上に近づき，奇数番目 $a_{2m+1}$ は $c$ より大きい側から下に近づく。そこで ${\lim }_{m\to \infty }{a}_{2m}=u,{\lim }_{m\to \infty }{a}_{2m+1}=v$ とおくと $u\leqq c\leqq v$ であり，漸化式から $v=e^{-u},u=e^{-v}$ である。

もし $u<v$ なら $v-u=e^{-u}-e^{-v}=e^{-u}\{1-e^{-(v-u)}\}$ である。(1) を $x=v-u>0$ に用いると $1-e^{-(v-u)}<v-u$ なので $v-u<e^{-u}(v-u)$ となる。ここで $e^{-u}=v$ であり，$v\leqq 1$ だから $v-u<v(v-u)\leqq v-u$ となって矛盾する。したがって $u=v$ である。

共通の極限を $L$ とすると，$L=e^{-L}$ を満たす。問題文よりこの実数はただ1つで，それが $c$ である。よって $\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=c}$ である。