北海道大学 1995年度
文系数学 前期 第4問

解答

2曲線の差を $D(x)=x^2(x+1)-k^2(x+1)=(x+1)(x-k)(x+k)$ とおく。$0\leqq k\leqq 1$ なので交点の $x$ 座標は $-1,-k,k$ の順に並ぶ。区間 $(-1,-k)$ では $D(x)>0$，区間 $(-k,k)$ では $D(x)<0$ である。したがって囲まれる部分の面積を $S(k)$ とすると $S(k)={\int }_{-1}^{-k}D(x)dx-{\int }_{-k}^{k}D(x)dx$ である。 $D(x)=x^3+x^2-k^{2}x-k^2$ と展開して積分すると $S(k)=\frac{-3k^4+24k^3-6k^2+1}{12}$ となる。よって $S^{\prime }(k)=\frac{-12k^3+72k^2-12k}{12}=-k(k^2-6k+1)$ である。$0\leqq k\leqq 1$ にある臨界点は $k=0,k=3-2\sqrt{2}$ である。導関数の符号は，$0<k<3-2\sqrt{2}$ で負，$3-2\sqrt{2}<k<1$ で正となるので，$S(k)$ は $k=3-2\sqrt{2}$ で最小となる。したがって $\boxed{k=3-2\sqrt{2}}$ である。

別解。 面積の式を完全に出さず，導関数だけを先に求めることもできる。上端・下端 $-1,-k,k$ では $D(x)=0$ なので，積分区間の端の移動による項は消える。よって $S^{\prime }(k)={\int }_{-1}^{-k}(-2k)(x+1)dx-{\int }_{-k}^k(-2k)(x+1)dx$ であり，これを計算すると $S^{\prime }(k)=-k(k-1{)}^2+4k^2=-k(k^2-6k+1)$ となる。したがって同じ臨界点 $k=3-2\sqrt{2}$ が得られる。