北海道大学 1995年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

平面上に2つの円

C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1, C_{2} : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = R^{2}

を考える．ただし， $R > 1 + 5$ とする．

(1) 円 $C_{1}$ は円 $C_{2}$ の内部に含まれることを示せ．

(2) 円 $C_{2}$ 上の点 $P$ を通り，円 $C_{1}$ に接する2本の直線が点 $P$ においてなす角度を $θ$ とする．また，点 $P$ と原点 $O$ との距離を $d$ とする．このとき， $cos θ$ を $d$ を用いて表せ．

(3) (2)において $θ = \frac{π}{2}$ となるような点 $P$ が円 $C_{2}$ 上に存在するための $R$ の満たすべき条件を求めよ．

出典：北海道大学 1995年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

2つの円の位置関係は中心間距離 $5$ と半径の和で判定する。接線のなす角は，接点を結んだ直角三角形で半角を表し，最後は $θ = \frac{π}{2}$ が $O P = 2$ と同値であることを円同士の交点条件に置き換える。

解答

円 $C_{1}$ の中心を $O = (0, 0)$ ，円 $C_{2}$ の中心を $A = (1, 2)$ とする。このとき $O A = 1^{2} + 2^{2} = 5$ である。

(1)

$C_{1}$ 上または内部の任意の点を $X$ とすると， $O X ≦ 1$ である。三角不等式より $A X ≦ A O + O X ≦ 5 + 1$ であり，仮定 $R > 1 + 5$ から $A X < R$ となる。したがって $C_{1}$ 上およびその内部の点はすべて $C_{2}$ の内部にある。よって円 $C_{1}$ は円 $C_{2}$ の内部に含まれる。

(2)

点 $P$ から $C_{1}$ に引いた接線の接点の1つを $T$ とする。半径と接線は接点で直交するから $O T ⊥ P T, O T = 1, O P = d$ である。 $O P$ と接線 $P T$ のなす角を $ϕ$ とすると，直角三角形 $O P T$ において $sin ϕ = \frac{O T}{O P} = \frac{1}{d}$ である。2本の接線は $O P$ に関して対称なので，2本の接線のなす角は $θ = 2 ϕ$ となる。したがって

cos θ = cos 2 ϕ = 1 - 2 sin^{2} ϕ = 1 - \frac{2}{d ^{2}} = \frac{d ^{2} - 2}{d ^{2}}

である。

(3)

$θ = \frac{π}{2}$ となることは，(2) の式から $\frac{d ^{2} - 2}{d ^{2}} = 0$ すなわち $d = 2$ と同値である。したがって，原点中心・半径 $2$ の円と $C_{2}$ が交わるための条件を求めればよい。

この2つの円の中心間距離は $5$ ，半径はそれぞれ $2$ と $R$ である。交点が存在する条件は $∣ R - 2 ∣ ≦ 5 ≦ R + 2$ である。ここで仮定 $R > 1 + 5$ より $R > 2$ であるから，左側は $R - 2 ≦ 5$ すなわち $R ≦ 5 + 2$ となる。また $5 ≦ R + 2$ はこの仮定のもとで自動的に成り立つ。よって求める条件は $1 + 5 < R ≦ 5 + 2$ である。

北海道大学 1995年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 1995年度
文系数学前期第3問