問題
を次の行列で与えられる1次変換とする．
(1) 点 が，を満たすとき，の座標を求めよ．
(2) 点を出発点とし，点をによって順に定める．のとき，の座標はとなることを示せ．
(3) のときの座標を求めよ．
出典：北海道大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
行列をそのまま何度も掛けるのではなく， と が1回の変換でどう変わるかを見る。和の成分は毎回 倍，差の成分は不変になるので，反復後の座標を和と差から戻す。
解答
点 の像を とすると である。ここから がわかる。つまり， は1回ごとに 倍され， は変わらない。
(1)
ならば , である。第1式だけを見ても より を得る。逆に ならば上の式から , である。したがって固定される点は直線 上にある。さらに より， を代入して である。よって となる。
(2)
初期値が のとき である。上で調べた変化より である。したがって であり， から となる。
(3)
初期値が のとき である。よって となる。和と差から座標に戻すと
なので
である。
別解。 は
を満たす。したがって 方向の成分だけが 倍され， 方向の成分は保たれる。 と分解すれば，(3) の式がすぐに得られる。