北海道大学 1995年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

$- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ で， $2 cos 2 θ + a sin 2 θ = 1$ のとき， $tan θ$ を $a$ を用いて表せ．

出典：北海道大学 1995年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

求めたい量を最初から $t = tan θ$ と置く。範囲条件から $cos θ > 0$ なので， $tan θ$ への置換で解を失わないことを確認し，2倍角の式を代入して2次方程式に帰着する。最後に，得られた実数解がすべて条件範囲の $θ$ に対応することまで見る。

解答

$t = tan θ$ とおく。 $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ では $cos θ > 0$ であり， $t$ は任意の実数をとりうる。2倍角の公式より $cos 2 θ = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, sin 2 θ = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ であるから，条件式に代入して $2 \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} + a \frac{2 t}{1 + t ^{2}} = 1$ を得る。ここで $1 + t^{2} > 0$ なので両辺に $1 + t^{2}$ を掛けてよい。整理すると $2 (1 - t^{2}) + 2 a t = 1 + t^{2}, 3 t^{2} - 2 a t - 1 = 0$ である。判別式は $(- 2 a)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1) = 4 (a^{2} + 3) > 0$ なので，2つの実数解は $t = \frac{2 a \pm 4 a ^{2} + 12}{6} = \frac{a \pm a ^{2} + 3}{3}$ となる。したがって

tan θ = \frac{a + a ^{2} + 3}{3}, \frac{a - a ^{2} + 3}{3}

である。どちらの値も実数であり， $- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$ には任意の実数を $tan θ$ とする $θ$ がただ1つ存在するので，この2つはいずれも条件を満たす。

別解。 $cos θ > 0$ を利用して，2倍角を $sin θ, cos θ$ のまま処理してもよい。条件式は

2 (cos^{2} θ - sin^{2} θ) + 2 a sin θ cos θ = cos^{2} θ + sin^{2} θ

と同値である。両辺を $cos^{2} θ$ で割ると $2 (1 - t^{2}) + 2 a t = 1 + t^{2}$ となり，同じ2次方程式 $3 t^{2} - 2 a t - 1 = 0$ に戻る。

北海道大学 1995年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

北海道大学 1995年度
文系数学前期第1問