北海道大学 1994年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とする．1から6までの目が等しい確率で出るサイコロを用いて試行を行う．サイコロを連続して投げて出た目を加えていき，その目の和が初めて6の倍数になるか，あるいは， $n$ 回目を投げ終えたとき試行が終了するものとする．

(1) $1 ≦ k ≦ n$ に対して，試行が $k$ 回目で終了する確率を求めよ．

(2) 試行が終了するのに要する回数の期待値 $E_{n}$ を求めよ．また， $n \to \infty lim E_{n}$ を求めよ．

出典：北海道大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

途中の和を6で割った余りだけに注目する。終了していない状態では余りは0ではなく、次の1投で余りを0にする目はちょうど1つなので、各回で終了する確率は条件付きで $1/6$ である。ただし $n$ 回目は打ち切りで必ず終了するため、 $k < n$ と $k = n$ を分ける。期待値は $E_{n} = \sum_{j = 1}^{n} P (X ≧ j)$ を使うと等比級数で求まる。

解答

(1)

各時点で、これまでの和を6で割った余りに注目する。まだ試行が終了していないなら、その余りは0ではない。余りがどの非零の値であっても、次のサイコロの目のうち、和を6の倍数にするものはちょうど1つである。したがって、終了していない状態から次の1回で終了する確率は $\frac{1}{6}$ であり、終了しない確率は $\frac{5}{6}$ である。 $1 ≦ k < n$ のとき、試行が $k$ 回目で終了するには、最初の $k - 1$ 回では終了せず、 $k$ 回目で初めて6の倍数になればよい。よって

P (試行が k 回目で終了) = (\frac{5}{6})^{k - 1} \frac{1}{6} (1 ≦ k < n)

である。

一方、 $k = n$ のときは、 $n - 1$ 回目までに終了していなければ、 $n$ 回目を投げ終えた時点で打ち切りにより終了する。したがって $P (試行が n 回目で終了) = (\frac{5}{6})^{n - 1}$ である。特に $n = 1$ の場合もこの式で確率1となる。

(2)

終了に要する回数を $X$ とする。期待値は $E_{n} = \sum_{j = 1}^{n} P (X ≧ j)$ で求められる。 $X ≧ j$ とは、 $j - 1$ 回目までに終了していないことなので $P (X ≧ j) = (\frac{5}{6})^{j - 1}$ である。よって $E_{n} = \sum_{j = 1}^{n} (\frac{5}{6})^{j - 1}$ であり、等比級数の和から $E_{n} = 6 {1 - (\frac{5}{6})^{n}}$ となる。

したがって $n \to \infty lim E_{n} = 6$ である。

別解。期待値を (1)の分布から直接計算してもよい。

E_{n} = k = 1 \sum n - 1 k (\frac{5}{6})^{k - 1} \frac{1}{6} + n (\frac{5}{6})^{n - 1}

である。この有限和を整理すると同じく $E_{n} = 6 {1 - (\frac{5}{6})^{n}}$ を得る。尾確率の和を使う方法の方が、計算量は少ない。

北海道大学 1994年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1994年度
後期・理系数学後期第4問