北海道大学 1994年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

曲線 $y = lo g x$ と3直線 $y = x$ ， $x = a$ ， $x = 1 + a$ で囲まれる部分の面積を $S$ とする．ただし， $a > 0$ とする．

(1) $S$ を $a$ で表せ．

(2) $S$ を最小にする $a$ の値を求めよ．

(3) $S$ の最小値を $\frac{1}{2} + lo g k$ と表すとき， $k$ の値を求めよ．

出典：北海道大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

$x > 0$ では $x > lo g x$ なので、面積は $x = a$ から $x = a + 1$ までの $x - lo g x$ の積分で表せる。これを $a$ の式にして微分し、 $S^{'} (a) = 0$ を解く。さらに $S^{''} (a) > 0$ を確認して最小であることを示し、最後にその $a$ を代入して $1/2 + lo g k$ の形へ整理する。

解答

(1)

$x > 0$ において $x - lo g x > 0$ である。実際、 $h (x) = x - lo g x$ とおけば $h^{'} (x) = 1 - 1/ x$ で、 $x = 1$ で最小値 $h (1) = 1$ をとる。したがって、求める面積は $S = \int_{a}^{a + 1} (x - lo g x) d x$ である。 $\int (x - lo g x) d x = \frac{x ^{2}}{2} - x lo g x + x$ だから $S = [\frac{x ^{2}}{2} - x lo g x + x]_{a}^{a + 1}$ である。よって $S = a + \frac{3}{2} + a lo g a - (a + 1) lo g (a + 1)$ となる。

(2)

(1)の式を微分すると $S^{'} (a) = 1 + lo g a + 1 - {lo g (a + 1) + 1} = 1 + lo g \frac{a}{a + 1}$ である。したがって $S^{'} (a) = 0$ は $lo g \frac{a}{a + 1} = - 1$ すなわち $\frac{a}{a + 1} = e^{- 1}$ である。これを解いて $e a = a + 1$ より $a = \frac{1}{e - 1}$ を得る。

また $S^{''} (a) = \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1} = \frac{1}{a ( a + 1 )} > 0$ であるから、この点で確かに最小となる。

(3)

$a = 1/ (e - 1)$ とおく。このとき $a + 1 = \frac{e}{e - 1}$ である。(1)の式に代入すると

S_{m i n} = \frac{1}{e - 1} + \frac{3}{2} + \frac{1}{e - 1} lo g \frac{1}{e - 1} - \frac{e}{e - 1} lo g \frac{e}{e - 1}

である。

ここで $lo g \frac{1}{e - 1} = - lo g (e - 1), lo g \frac{e}{e - 1} = 1 - lo g (e - 1)$ だから

S_{m i n} = \frac{1}{e - 1} + \frac{3}{2} - \frac{lo g ( e - 1 )}{e - 1} - \frac{e}{e - 1} {1 - lo g (e - 1)}

である。整理すると $S_{m i n} = \frac{1}{2} + lo g (e - 1)$ となる。したがって $k = e - 1$ である。

北海道大学 1994年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 1994年度
後期・理系数学後期第1問