北海道大学 1994年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

(1)

内接円の中心を $I$ とし、辺への接点を考える。半径が1なので、頂点 $A$ から接点までの長さは、直角三角形より $\cot \frac{\alpha }{2}$ である。同様に、頂点 $B,C$ から接点までの長さはそれぞれ $\cot \frac{\beta }{2},\cot \frac{\gamma }{2}$ である。

したがって三角形の半周長は $\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}$ である。内接円の半径が1であるから、面積は $\text{面積}=\text{半周長}\times 1$ となる。よって

である。

(2)

円の中心が三角形の周上を動くとき、その円が通る図形は、三角形の周から距離 $d$ 以下の点全体である。これを三角形の外側の部分と内側の部分に分けて求める。

まず外側を考える。三角形の周長は、半周長が $V$ であることから $2V$ である。各辺の外側に幅 $d$ の帯ができるので、その長方形部分の面積の和は $2dV$ である。さらに3つの頂点の外側には扇形ができる。頂点 $A,B,C$ における外側の角はそれぞれ $\pi -\alpha ,\pi -\beta ,\pi -\gamma$ であり、その和は $3\pi -(\alpha +\beta +\gamma )=2\pi$ である。したがって扇形部分の面積の和は $\frac{1}{2}{d}^2\cdot 2\pi =\pi d^2$ である。よって外側の面積は $2dV+\pi d^2$ である。

次に内側を考える。三角形の内部で周から距離が $d$ より大きい部分は、もとの三角形と相似で、内接円の半径が $1-d$ である三角形である。相似比は $1-d$ なので、その面積は $(1-d{)}^{2}V$ である。したがって、内部で円が通る部分の面積は $V-(1-d{)}^{2}V=2dV-d^{2}V$ である。

以上より、求める図形 $S$ の面積は $S=(2dV+\pi d^2)+(2dV-d^{2}V)$ である。したがって $\boxed{S=4dV+(\pi -V)d^2}$ である。