問題
放物線を時計回りに原点を中心に回転した図形をとする．
(1) の方程式を求めよ．
(2) 直線がと接しているとき，の値を求めよ．
(3) と直線とで囲まれる図形を軸のまわりに回転して得られる図形の体積を求めよ．
出典：北海道大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
時計回りに 回転した後の座標を 、回転前の座標を とし、逆回転で 、 を代入する。(2)は を入れたときの の二次方程式の判別式で接線条件を調べる。(3)では で上下2枝を求め、 軸回転の外半径・内半径の差として体積を積分する。
解答
(1)
回転後の座標を 、回転前の座標を とする。図形を時計回りに 回転しているので、回転後の点を反時計回りに 戻せば回転前の点になる。したがって である。
回転前の放物線は であるから、これを代入して
を得る。両辺に をかけると である。よって が の方程式である。
(2)
直線 を (1)の式に代入すると である。これは について という二次方程式である。
直線 が と接するためには、この二次方程式が重解をもてばよい。判別式は である。したがって接する条件は であり、 である。
(3)
(1)の式を について解く。 で である。下側の枝も なので、 軸のまわりに回転すると、外半径と内半径はそれぞれ である。
したがって体積は
である。差の公式を使うと、被積分関数は
である。よって
である。