北海道大学 1994年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

$0 < a < 2$ とし，2つの3次曲線

y = a x^{3} - (2 a + 1) x^{2} + a x + 1,

y = (a - 2) x^{3} + 3 x^{2} - 3 a x + 1

で囲まれる面積を $S$ とする．

(1) $S$ を求めよ．

(2) $S$ が最小となる $a$ の値を求めよ．

出典：北海道大学 1994年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

2つの曲線の差を因数分解すると、交点が $x = 0, a, 2$ と分かる。 $0 < a < 2$ なので、差の符号は $(0, a)$ と $(a, 2)$ で反対になる。絶対値を区間ごとに外して面積を積分し、得られた $S (a)$ を微分して最小値を与える $a$ を調べる。

解答

(1)

2つの曲線の $y$ 座標の差を、上の式から下の式を引いて求めると ${a x^{3} - (2 a + 1) x^{2} + a x + 1} - {(a - 2) x^{3} + 3 x^{2} - 3 a x + 1}$ $= 2 x^{3} - 2 (a + 2) x^{2} + 4 a x = 2 x (x - a) (x - 2)$ である。 $0 < a < 2$ だから、 $0 < x < a$ では $2 x (x - a) (x - 2) > 0$ であり、 $a < x < 2$ では $2 x (x - a) (x - 2) < 0$ である。したがって囲まれる面積は $S = \int_{0}^{a} 2 x (x - a) (x - 2) d x - \int_{a}^{2} 2 x (x - a) (x - 2) d x$ である。

ここで $\int 2 x (x - a) (x - 2) d x = \frac{x ^{4}}{2} - \frac{2 ( a + 2 )}{3} x^{3} + 2 a x^{2}$ である。これを代入すると $\int_{0}^{a} 2 x (x - a) (x - 2) d x = - \frac{a ^{4}}{6} + \frac{2 a ^{3}}{3}$ であり、また $\int_{a}^{2} 2 x (x - a) (x - 2) d x = \frac{a ^{4}}{6} - \frac{2 a ^{3}}{3} + \frac{8 a - 8}{3}$ である。よって $S = \frac{- a ^{4} + 4 a ^{3} - 8 a + 8}{3}$ である。

(2)

(1)で得た式を微分すると $S^{'} (a) = \frac{- 4 a ^{3} + 12 a ^{2} - 8}{3} = - \frac{4}{3} (a - 1) (a^{2} - 2 a - 2)$ である。 $0 < a < 2$ にある臨界点は $a = 1$ だけである。実際、 $a^{2} - 2 a - 2 = 0$ の解は $a = 1 \pm 3$ であり、この範囲には入らない。 $0 < a < 1$ では $S^{'} (a) < 0$ 、 $1 < a < 2$ では $S^{'} (a) > 0$ であるから、 $S$ は $a = 1$ で最小となる。したがって $a = 1$ である。

別解。(2)の最小化だけなら、 $a = 1 + h$ とおいてもよい。 $- 1 < h < 1$ であり、(1)の分子は $- (1 + h)^{4} + 4 (1 + h)^{3} - 8 (1 + h) + 8 = 3 + 6 h^{2} - h^{4}$ となる。したがって $S = 1 + 2 h^{2} - \frac{h ^{4}}{3}$ である。 $- 1 < h < 1$ では $\frac{d S}{d h} = 4 h - \frac{4}{3} h^{3} = 4 h (1 - \frac{h ^{2}}{3})$ の符号は $h$ の符号と同じなので、最小は $h = 0$ 、すなわち $a = 1$ のときである。

北海道大学 1994年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1994年度
文系数学前期第4問