北海道大学 1994年度
文系数学 前期 第2問

解答

(1)

内接円が辺 $BC$ と接する点を $D$ とする。半径が1であるから、$OD\perp BC$ である。直角三角形 $OBD$ では $\angle OBD=\frac{\beta }{2},OD=1$ である。したがって $BD=\cot \frac{\beta }{2}$ である。同じように、直角三角形 $OCD$ から $CD=\cot \frac{\gamma }{2}$ である。よって $\boxed{BC=\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}}$ である。

(2)

$A=\pi -\beta -\gamma$ である。外接円の半径を $r$ とすると、正弦定理より $BC=2r\sin A$ である。ここで $\sin A=\sin (\pi -\beta -\gamma )=\sin (\beta +\gamma )$ だから、(1)の結果を代入して $\boxed{r=\frac{\cot (\beta /2)+\cot (\gamma /2)}{2\sin (\beta +\gamma )}}$ である。外接円の中心が三角形の内部にあるという条件は三角形が鋭角であることを意味し、この式の分母が正の長さとして使える範囲を保証している。

(3)

内接円の中心を $O$ とし、辺 $AB,BC,CA$ への接点をそれぞれ考える。頂点 $A$ から接点までの長さを $X$、頂点 $B$ から接点までの長さを $Y$、頂点 $C$ から接点までの長さを $Z$ とする。

半径が1なので、直角三角形から $X=\cot \frac{A}{2},Y=\cot \frac{B}{2},Z=\cot \frac{C}{2}$ である。一方、同じ直角三角形で $O{A}^2=1+X^2,O{B}^2=1+Y^2,O{C}^2=1+Z^2$ だから $X=\sqrt{O{A}^2-1},Y=\sqrt{O{B}^2-1},Z=\sqrt{O{C}^2-1}$ とおく。

接線の長さは同じ頂点から引いたものが等しいので、辺の長さは $BC=Y+Z,CA=Z+X,AB=X+Y$ である。また、内接円の半径が1であるから、面積 $\Delta$ は半周長に等しく、$\Delta =X+Y+Z$ である。

外接円の半径を $r$ とすると $r=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4\Delta }$ である。したがって $\boxed{r=\frac{(X+Y)(Y+Z)(Z+X)}{4(X+Y+Z)}}$ ただし $X=\sqrt{O{A}^2-1},Y=\sqrt{O{B}^2-1},Z=\sqrt{O{C}^2-1}$ である。