問題
を0でない実数とし，を直線上の原点以外の点とする．1次変換が次の条件（イ）と（ロ）を満たすとする．
（イ） は点を点に移す．
（ロ） とすると，が直角となり，の面積がの長さの2乗に等しい．
このとき，を表す行列を求めよ．
出典：北海道大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
条件（イ）で行列の第1列がただちに決まり、未知数は第2列だけになる。点 は直線 上の任意の原点以外の点なので と置き、 に依存しない条件として、 と の直交条件、三角形の面積条件を立てる。面積条件では絶対値が出るため、直交条件で式を整理してから に落とし、2通りの符号を最後に戻して行列を決める。
解答
(1)
条件（イ）より、 は に移る。したがって行列の第1列は であり、
とおける。 は直線 上の原点以外の点だから、ある を用いて と書ける。このとき である。
まず が直角であることから、 である。よって であり、 だから を得る。
次に面積条件を用いる。三角形 の面積は
である。一方、 であるから、面積条件は である。
ここで直交条件 を用いると となる。したがって であり、 より を得る。 だから である。 のとき、直交条件から であるから である。 のときは より である。
よって求める行列は
または
である。
別解。直角条件と面積条件を先に図形的に読むこともできる。 とすると、 だから である。これが に等しいので である。したがって、 に垂直で長さが2倍の向きは の2通りである。すなわち または を解けばよく、同じ2つの行列が得られる。