北海道大学 1994年度
文系数学 前期 第3問

解答

(1)

$C:y=x^3-x+6$ とする。導関数は $y^{\prime }=3x^2-1$ であるから、点 $(a,a^3-a+6)$ における接線の傾きは $3a^2-1$ である。よって接線は $\boxed{y=(3a^2-1)(x-a)+a^3-a+6}$ である。整理すれば $y=(3a^2-1)x-2a^3+6$ とも書ける。

(2)

(1)の接線が $(-2,0)$ を通る条件は $0=(3a^2-1)(-2-a)+a^3-a+6$ である。左辺を整理すると $(3a^2-1)(-2-a)+a^3-a+6=-2a^3-6a^2+8=-2(a-1)(a+2{)}^2$ である。したがって $(a-1)(a+2{)}^2=0$ となるので $\boxed{a=1,-2}$ である。

(3)

点 $(t,0)$ から引いた接線の接点の $x$ 座標を $a$ とする。(1)の接線が $(t,0)$ を通る条件は $0=(3a^2-1)(t-a)+a^3-a+6$ である。整理すると $(3a^2-1)t-2a^3+6=0$ すなわち $2a^3-3t{a}^2+t-6=0$ である。

そこで $F(a)=2a^3-3t{a}^2+t-6$ とおく。$t>0$ のもとで $F^{\prime }(a)=6a(a-t)$ である。したがって $F(a)$ は、$a<0$ で増加、$0<a<t$ で減少、$a>t$ で増加する。つまり $a=0$ で極大、$a=t$ で極小をとる。

3本の接線が引けるためには、この三次方程式が相異なる3つの実数解をもてばよい。三次関数の最高次係数は正なので、その条件は $F(0)>0,F(t)<0$ である。

まず $F(0)=t-6$ である。また $F(t)=2t^3-3t^3+t-6=-t^3+t-6$ であり、$t>0$ では $t^3-t+6>0$ だから $F(t)<0$ が常に成り立つ。よって必要十分条件は $t-6>0$ である。

したがって求める範囲は $\boxed{t>6}$ である。なお $t=6$ では $a=0$ が重解となり、相異なる接線は3本にならない。

別解。(3)では、接線の $x$ 軸との交点を接点 $a$ の関数として見ることもできる。$3a^2-1\ne 0$ のとき $t=\frac{2(a^3-3)}{3a^2-1}$ である。この関数の水平線 $y=t$ との交点数を増減で調べると、正の $t$ に対して3点で交わるのは、ちょうど $t>6$ の場合である。これは上の三次方程式の極大値 $F(0)=t-6$ を見ることと同じ判定である。