北海道大学 1993年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

楕円 $\frac{x ^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 上に2点 $P (3 cos α, sin α)$ ， $Q (3 cos β, sin β)$ を $O P$ と $O Q$ が直交するようにとる．ただし， $O$ は原点であり， $0 < α < \frac{π}{2} < β < π$ とする．

(1) $θ = β - α$ とおくとき， $tan θ$ を $α$ の関数として表せ．

(2) $α$ が $0 < α < \frac{π}{2}$ の範囲を動くときの $θ$ の最小値を求めよ．

出典：北海道大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

直交条件を内積で書き、 $tan β = - 3/ tan α$ を得る。 $t = tan α > 0$ とおくと、 $β$ は第2象限なので $tan β < 0$ になり、 $tan (β - α)$ の公式から $\frac{1}{2} (t + 3/ t)$ が出る。最後は相加相乗平均で最小値を調べ、等号成立時の $α, β$ から $θ$ を決める。

解答

(1)

$P = (3 cos α, sin α), Q = (3 cos β, sin β)$ である。 $O P$ と $O Q$ が直交するから、内積は0である。したがって $(3 cos α) (3 cos β) + sin α sin β = 0$ すなわち $3 cos α cos β + sin α sin β = 0$ である。 $0 < α < \frac{π}{2}$ 、 $\frac{π}{2} < β < π$ なので、 $cos α \neq = 0$ 、 $cos β \neq = 0$ である。両辺を $cos α cos β$ で割ると $3 + tan α tan β = 0$ であり、 $tan β = - \frac{3}{t a n α}$ を得る。

ここで $t = tan α > 0$ とおく。 $θ = β - α$ なので

tan θ = tan (β - α) = \frac{tan β - tan α}{1 + tan α tan β} = \frac{- \frac{3}{t} - t}{1 - 3} = \frac{1}{2} (t + \frac{3}{t})

である。したがって $tan θ = \frac{1}{2} (tan α + \frac{3}{t a n α})$ である。

(2)

$t > 0$ であるから、相加相乗平均より $t + \frac{3}{t} ≧ 23$ である。したがって $tan θ = \frac{1}{2} (t + \frac{3}{t}) ≧ 3$ である。等号は $t = \frac{3}{t}$ すなわち $t = 3$ のときに成り立つ。このとき $tan α = 3$ かつ $0 < α < \frac{π}{2}$ だから $α = \frac{π}{3}$ である。また $tan β = - \frac{3}{3} = - 3$ で、 $\frac{π}{2} < β < π$ だから $β = \frac{2 π}{3}$ である。よって $θ = β - α = \frac{2 π}{3} - \frac{π}{3} = \frac{π}{3}$ である。

なお、条件より $0 < θ < π$ であり、ここでは $tan θ > 0$ だから $0 < θ < \frac{π}{2}$ である。したがって $tan θ$ が最小となるときに $θ$ も最小となる。以上より $θ_{m i n} = \frac{π}{3}$ である。

北海道大学 1993年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1993年度
後期・理系数学後期第4問